2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 河北省保定市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先解不等式得集合A，再根据交集定义得结果.‎ 详解：因为，所以 所以 选A.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2．已知复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：移项，化简整理即可.‎ 详解：，‎ 的虚部为4.‎ 故选：A.‎ 点睛：复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎3．某幼儿园的一位老师在六一儿童节要给小朋友们(含小朋友甲和乙)每人赠送一本童话书。每个小朋友可以在《小熊维尼历险记》《安徒生童话》《秘密花园》《金银岛》这四本中任选一本，则小朋友甲和乙至少有一位选《秘密花园》的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据乘法原理确定总事件数，再求对立事件：甲和乙都不选《秘密花园》的事件数，根据古典概型概率公式以及对立事件概率公式求结果.‎ 详解：因为甲和乙在四本中任选一本的事件数为，甲和乙都不选《秘密花园》的事件数，所以甲和乙至少有一位选《秘密花园》的概率为 选B.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎4．设满足约束条件，目标函数，则（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先作可行域，再结合图像确定目标函数所表示的直线最值取法.‎ 详解：作可行域，则直线过点A时取最小值2，选D.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据双曲线标准方程得，再根据离心率大于，得，解得的取值范围.‎ 详解：因为，所以,‎ 因为离心率大于，所以,‎ 选D.‎ 点睛：本题考查双曲线离心率，考查基本求解能力.‎ ‎6．设有下面四个命题 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则；‎ 若，则.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：分别根据指数不等式、指数方程、三角方程、正切函数周期判断命题真假.‎ 详解：因为，所以;为假，‎ 因为，所以，为真；‎ 因为，所以，为真；‎ 因为，所以，为真；‎ 选C.‎ 点睛：本题考查解指数不等式、解指数方程、解三角方程、求正切函数周期，考查基本求解能力.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：模拟执行程序框图即可.‎ 详解：模拟执行程序框图，可得：‎ ‎，‎ 不满足，执行循环体，；‎ 不满足，执行循环体，；‎ 不满足，执行循环体，；‎ 满足，退出循环，输出i的值为5.‎ 故选：C.‎ 点睛：(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；‎ ‎(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．‎ ‎8．设为数列的前项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义求通项，注意起始项是否满足.‎ 详解：当时，,‎ 当时，,‎ 所以数列从第二项起成等比数列，首项为，公比为3，所以当时，,‎ 所以，‎ 选C.‎ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与 之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎9．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.‎ 详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，‎ ‎ 和（）‎ 解得和，‎ ‎ 和 ‎ 时，；‎ 时，.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），从而利用体积公式计算即可.‎ 详解：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），‎ 则.‎ 故选：C.‎ 点睛：(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎11．已知点是抛物线上一点，是抛物线上异于的两点，在轴上的射影分别为，若直线与直线的斜率之差为，，则的面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求m，再根据直线与直线的斜率之差为，得，最后根据到轴最大值，即得的面积的最大值.‎ 详解：因为点是抛物线上一点，所以，‎ 因为直线与直线的斜率之差为，设 所以 因此的面积的最大值为，‎ 选B.‎ 点睛：本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，考查基本求解能力.‎ ‎12．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.‎ 详解：‎ 当时，有；‎ 当时，有；‎ 当时，有；‎ ‎…..‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数的解析式为这三个中的一个，若函数为上的奇函数，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：先根据为奇函数得为上的奇函数，再判断.‎ 详解：因为为上的奇函数，所以，，‎ 因为，所以.‎ 点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ ‎14．在平行四边形中，为线段的中点，若，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先根据三角形法则化为，再根据分解唯一性求，即得 详解：因为，所以,‎ 因为不共线，所以 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量，，则 ‎15．若函数在上只有一个零点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先利用导数研究单调性，确定函数图像，根据图像确定的取值范围.‎ 详解：因为，所以 当时，‎ 当时，‎ 因此要使函数在上只有一个零点，需 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎16．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据鳖擩的定义得球为以AB,BC,CD为长宽高的长方体对角线的中点，再根据求得表面积公式求结果.‎ 详解：因为球为以AB,BC,CD为长宽高的长方体对角线的中点，‎ 所以球半径为，‎ 所以球的表面积为.‎ 点睛：若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当取得最小值时，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化简即可；‎ ‎（2），当且仅当，即时，取等号.从而即可得到答案.‎ 详解：（1）∵，‎ ‎∴‎ 即 ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18．如图，在三棱锥中，两两垂直，，且为线段的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为，求三棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）先根据等腰三角形性质得，再由线面垂直判定定理得平面，即得.最后由线面垂直判定定理得结论，（2）设，由锥体体积公式求得.再根据各侧面形状求面积.‎ 详解： （1）证明：因为，为线段的中点，‎ 所以.‎ 又两两垂直，且 所以平面，则.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：设，‎ 则，‎ 因为平面，‎ 所以 解得.‎ 因为 易知为正三角形，则 故三棱锥的侧面积为.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎19．某机构为了调查某市同时符合条件与(条件：营养均衡，作息规律；条件：经常锻炼，劳逸结合)的高中男生的体重(单位:)与身高(单位: )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格:‎ 身高/‎ 体重/‎ 根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.‎ ‎(1)求关于的线性回归方程(精确到整数部分)；‎ ‎(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果较好。试结合数据 ‎，判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好？‎ ‎(3)该市某高中有位男生同时符合条件与，将这位男生的身高(单位:)的数据绘制成如下的茎叶图。利用（1）中的回归方程估计这位男生的体重未超过的所有男生体重（单位：）的平均数（结果精确到整数部分）.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)（1）中的回归方程的拟合效果良好.‎ ‎(3).‎ ‎【解析】分析：（1）由线性回归方程对应的直线的斜率得，再求均值，再根据求，（2）计算，与0.9比较确定拟合效果，（3）先根据线性回归方程确定未超过的所有男生体重，再计算均值，最后代入线性回归方程得结果.‎ 详解：（1）依题意可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ 故（1）中的回归方程的拟合效果良好.‎ ‎（3）令，得，‎ 故这位男生中未超过的所有男生的身高（单位：）为 这为男生体重的平均数 故这位男生中体重未超过的所有男生体重的平均数为.‎ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.‎ ‎20．已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，点与点分别为椭圆的上顶点与左焦点，且的面积为（点为坐标原点）.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线过且与椭圆交于两点，且的面积为，求的斜率.‎ ‎【答案】(1) 的方程为.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）先根据的面积得，再根据椭圆的四个顶点围成的菱形的面积得，解得，（2）设直线的方程为，则，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求得，再根据的面积为，求得m，即得的斜率.‎ 详解：（1）∵的面积为，‎ ‎∴，即.‎ 又∵椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 依题意可得，‎ 整理得，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）是否存在非负实数a，使得在上的最大值为？请证明你的结论.‎ ‎【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎(2) 不存在非负实数，使得在上的最大值为；证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先求导数，根据a是否为零分类讨论导函数零点，进而讨论函数单调性，（2）根据（1）单调性确定在上的最大值，即，，再利用导数研究最大值函数单调性，得其最小值为，所以在上的最大值不可能为.‎ 详解：（1），‎ 当时，在上单调递增.‎ 当时，令，得；‎ 令，得.‎ 令，得.‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）当时，在上单调递增，无最大值，故不合题意.‎ 当时，由（1）知，‎ 设，‎ 则，‎ 令，得 易得，‎ 从而，‎ 故不存在非负实数，使得在上的最大值为.‎ 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；‎ ‎（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；‎ ‎（2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.‎ 详解：(1）由，得，‎ 所以，‎ 即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 曲线的普通方程为 ‎（2）联立，得 因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，‎ 所以直线经过圆的圆心，‎ 则，‎ 又 所以 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（3）若函数的最小值不小于的最小值，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）分段讨论即可；‎ ‎（2）分别求出和的最小值，解出即可.‎ 详解：（1）由，得，‎ ‎∴或或 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则或，‎ 解得.‎ 点睛：求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法 求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：‎ 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a

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