专题24+等比数列及其前n项和（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题24+等比数列及其前n项和（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。‎ ‎2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)‎ A．12 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ ‎【答案】B ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵ ‎∴ 由(1)除以(2)可得＝2，解得q＝，‎ 代入(1)得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，‎ ‎∴Sn＝＝4，‎ ‎∴＝＝2n－1，选D。 ‎ ‎4．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝(　　)‎ A. B．16‎ C．15 D. ‎【答案】A ‎5．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎【答案】D ‎【解析】由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞1)，解得1＜q＜，所以q的一个可能值是，故选D。‎ ‎6．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎7．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.‎ ‎8．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)‎ A．12　　 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由等比数列的性质知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故选B.‎ ‎9．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，‎ ‎∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，‎ a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{an}中，a＝a1a3，‎ ‎∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.故选A．‎ ‎10．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A． B．－ C． D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝. ‎ ‎11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－3 D．3‎ ‎【答案】B　‎ ‎12．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C． D．2‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.‎ ‎13．已知正项数列{an}满足a－‎2a＝anan＋1，若a1＝1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. ‎ ‎【答案】2n－1　‎ ‎【解析】由a－2a＝anan＋1，得(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，所以an＋1＝2an或an＋1＝－an(舍去)，所以 ‎＝2，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以Sn＝＝2n－1.‎ ‎14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．‎ ‎【答案】2n－＋1　‎ ‎15．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________。‎ ‎【解析】由题意得公比q3＝＝8，q＝2，an＝2·2n－1＝2n。因此bn＝n，Sn＝。‎ ‎【答案】2n　 ‎16．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2 014＝__________。‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2 014＝0。‎ ‎17．在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是__________。‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意知a4·a14＝(2)2＝a，即a9＝2。设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝＋a9q2＝＋2q2≥2＝8，当且仅当＝2q2，即q＝时取等号，其最小值为8。‎ ‎18．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得因此，an＝3n－1。‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝。 ‎ ‎22．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.‎ ‎ ‎