高考数学专题复习练习第八章 第七节 双曲线

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高考数学专题复习练习第八章 第七节 双曲线

第八章 第八节 双曲线 课下练兵场 命 题 报 告 ‎    难度及题号 知识点  ‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 双曲线的定义及其标准方程 ‎1、2‎ ‎8、10‎ 双曲线的几何性质 ‎3‎ ‎4、5、7、9‎ 直线与双曲线的位置关系 ‎6‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1.已知定点A、B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是(  )‎ A.            B. C. D.5‎ 解析:因为|AB|=4,|PA|-|PB|=3,‎ 故满足条件的点在双曲线右支上,‎ 则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=.‎ 答案:C ‎2.已知点F1(-,0),F2(,0),动点P满足|PF2|-|PF1|=2,当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是 (  )‎ A. B. C. D.2‎ 解析:由已知可知c=,a=1,∴b=1,‎ ‎∴双曲线方程为x2-y2=1(x≤-1).‎ 代入可求P的横坐标为x=-.‎ ‎∴P到原点的距离为 =.‎ 答案:A ‎3.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点(0,),一条渐近线3y-mx=0, ‎ =⇒m=4.‎ 答案:D ‎4.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且·=0,则|+|= (  )‎ A. B.‎2 ‎ C. D.2 解析:设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.点P在双曲线上,且·=0,则|+|=2||=||=2.‎ 答案:B ‎5.F1、F2是双曲线C的两个焦点,P是C上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为 (  )‎ A.1+ B.2+ C.3- D.3+ 解析:由△PF‎1F2为等腰直角三角形,‎ 又|PF1|≠|PF2|,‎ 故必有|F‎1F2|=|PF2|,‎ 即‎2c=,从而得c2-‎2ac-a2=0,‎ 即e2-2e-1=0,解之得e=1±,‎ ‎∵e>1,∴e=1+.‎ 答案:A ‎6.斜率为2的直线l过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是 (  )‎ A.e<        B.1<e< C.1<e< D.e> 解析:依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率必大 ‎ 于2,即>2,因此该双曲线的离心率 e=== >.‎ 答案:D 二、填空题 ‎7.(2010·平顶山模拟)A、F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,P是双曲线右支上任一点,若∠PFA=λ·∠PAF,则λ=________.‎ 解析:特殊值法,取点P为(,1),得∠PFA=2∠PAF,故λ=2.‎ 答案:2‎ ‎8.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________.‎ 解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解.即该圆与y轴无交点.‎ 令y=0,得x=2或x=4,‎ 符合条件的双曲线a=2,c=4,‎ ‎∴b2=c2-a2=16-4=12且焦点在x轴上,‎ ‎∴双曲线方程为-=1.‎ 答案:-=1‎ ‎9.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是2,则的最小值是________.‎ 解析:=2⇒=4⇒a2+b2=‎4a2⇒‎3a2=b2,‎ 则==a+≥2 =,‎ 当a=即a=时取最小值.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点M(3,m)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线方程;‎ ‎(2)求证:·=0;‎ ‎(3)求△F1MF2面积.‎ 解:(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.‎ ‎∵过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.‎ ‎∴双曲线方程为x2-y2=6.‎ ‎(2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,‎ ‎∴c=2,‎ ‎∴F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴kMF1=,kMF2=,‎ kMF1·kMF2==-.‎ ‎∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,‎ 故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.‎ ‎∴·=0.‎ 法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),‎ ‎∴·=(3+2)×(3-2)+m2‎ ‎=-3+m2,‎ ‎∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,‎ ‎∴·=0.‎ ‎(3)△F1MF2的底|F‎1F2|=4,由(2)知m=±.‎ ‎∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6.‎ ‎11.(2010·长沙模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若·=-23,求直线m的方程.‎ 解:(1)依题意,l方程+=1,即bx-ay-ab=0,由原点O到l的距离为,得==,‎ 又e==,‎ ‎∴b=1,a=.‎ 故所求双曲线方程为-y2=1.‎ ‎(2)显然直线m不与x轴垂直,设m方程为y=kx-1,则点M、N坐标(x1,y1),(x2,‎ y2)是方程组的解,‎ 消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①‎ 依题意,1-3k2≠0,由根与系数关系,‎ 知x1+x2=,x1x2= ‎·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2‎ ‎=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)‎ ‎=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1‎ ‎=-+1‎ ‎=+1.‎ 又∵·=-23,‎ ‎∴+1=-23,k=±,‎ 当k=±时,方程①有两个不相等的实数根,‎ ‎∴方程为y=x-1或y=-x-1.‎ ‎12.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.‎ 解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).‎ 由已知得:a=,c=2,再由a2+b2=c2,∴b2=1,‎ ‎∴双曲线方程为-y2=1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 将y=kx+代入-y2=1,‎ 得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由题意知 解得<k<1.‎ ‎∴当<k<1时,l与双曲线左支有两个交点.‎ ‎(3)由(2)得:xA+xB=,‎ ‎∴yA+yB=(kxA+)+(kxB+)‎ ‎=k(xA+xB)+2=,‎ ‎∴AB的中点P的坐标为(,).‎ 设直线l0的方程为:y=-x+b,‎ 将P点坐标代入直线l0的方程,得b=.‎ ‎∵<k<1,∴-2<1-3k2<0,‎ ‎∴b<-2.‎ ‎∴b的取值范围为(-∞,-2).‎
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