数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三上学期第五次双周练（2017

数学（理）卷·2018届湖北省荆州中学高三上学期第五次双周练（2017

荆州中学高三第四次双周考试卷 数学（理）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数（是虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.如图，在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这两个面内，且都垂直于棱，，，则的长为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎4.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数，，若将的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点对称，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎6. 如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（ ）‎ ‎ []‎ 第3题图 第6题图 ‎7.若存在正常数，使得对任意的实数，都有，则称为上的“限增函数”.给出下列函数：（1）；（2）；（3），其中“限增函数”是（ ）‎ ‎ （1）（2）（3） （2）（3） （1）（3） （3）‎ ‎8.已知数列满足：，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.已知，若的最小值是，的最大值是，且，则的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知为非零向量，，则的最大值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.设是抛物线上的两点，为坐标原点，已知，于，点的坐标为，则实数的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.已知是实数，，设，，若，，且，则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.只需要填写演算结果）‎ ‎13.设圆的弦的中点为，则直线的方程____________.‎ ‎14.已知是曲线上不同三点，分别是线段的中点，则过的圆一定过定点 .‎ ‎15.已知两个正数，可按规则扩充一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，每扩充一次得到一个新数称为一个操作.若，经过次操作后扩充得到的数是，则的值是 .‎ ‎16.已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：（本大题共有6个小题，共70分，要求写出详细的演算步骤及解题过程．）‎ ‎17.（12分）在中，分别是角的对边，且[]‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设，，若当时，函数取最大值，求的面积.‎ ‎18.（12分）已知数列的前项和为，常数，且对于任意的正整数，都有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；[]‎ ‎（2）设，当为何值时，数列的前项和最大？‎ ‎19.（12分）如图，在三棱锥中，，底面为边长为的正三角形，点在平面上的射影为，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.[]‎ ‎20.（12分）已知椭圆的离心率为，左焦点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求实数的取值范围；‎ ‎（3）在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（12分）已知是实数，设函数，，.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）求函数的最大值；‎ ‎（3）若存在实数，使得，求实数的取值范围.‎ 选做题，从22或23题选一题作答，共10分 ‎22.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为，的方程为.‎ ‎（1）求直线与的普通方程；‎ ‎（2）若直线与相交于两点，求线段的长度.‎ ‎23.若关于的不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.‎ 荆州中学2018届高三第四次双周考试卷数学（理）参考答案 一.选择题答案：BCAAB；DBAAB；DB 二.填空题答案：13. ； 14.； 15.； 16.‎ ‎17.（1）在中，由可知，由可知 （2） ‎ ‎ 由知，从而 当时，取得最大值，‎ 此时，，即，于是为正三角形 而，所以，的面积为 ‎18.解：（1）18.解（1）由可知.当时，；当时，‎ 由可知，两式相减可得 所以，成等比数列，从而其通项公式为 综上所述，当时，数列的通项公式为；当时，的通项公式为 （3） 当时，，令故数列是递减的等差数列，公差是 所以，当时，‎ 所以，数列的前项和最大，即数列的前项和最大 19. 解（1）由，且可知，‎ 由为正三角形知，且共面，所以，.‎ 而面，面，所以，面 （2） 由点在平面上的射影为可知面，从而 又，故可以以为原点，分别为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系 于是，且是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量，所以 由及知 令得 ，所以，是平面的一个法向量 于是，‎ 又二面角钝二面角，所以，二面角的余弦值为 （3） 由（2）知，而 所以，与不垂直，从而线段上不存在点，使得平面 ‎20.解 （1）依题意有，解得，所以，椭圆的方程为 ‎（2）设直线的方程为由可知 ? 由直线交椭圆于两点可知，解得或 所以，的取值范围是 ‎（3）设，则，‎ 故 设存在点，则，所以，‎ ‎ ‎ 要使得，对任意的实数，都为定值 即对任意实数，都有 所以，且，解得 所以，存在点，使得为定值 ‎21.解（1）由可知在上的递增，所以，当时，取最小值 ‎（2），当时，；当时，‎ 所以，在内递增，在内递减，因此，当时，取最大值 ‎（3）由（1）知，且 若，则 所以，在上递增，于是，当时，取最小值 由于存在，使得，所以 所以，‎ 若，是上的增函数 当时，，因此，在上递增 而 所以，在内有唯一的零点，即 整理得 ①‎ 当时，，当时，‎ 即在上递减，在上递增 所以，在上的最小值是 由①知 由（2）知，因此， ②‎ 设，则，于是是上的减函数 而，故，由②知 所以，当时，存在，使得 综上所述，，即实数的取值范围为 ‎22.解：解（1）直线的方程为，即 其普通方程为 ，整理得 的极坐标方程为，即，其普通方程为 ‎ 所以，直线的普通方程为 ，的普通方程为 ‎ （2） 的圆心，半径，圆心到直线旳距离为 所以， 因此，线段的长度为 ‎23.解：（1），在三段上的值域分别为，‎ 故函数的值域是 （2） ‎ 若，则，且 所以，的值域为 由关于的不等式对任意实数都成立可知，即 若，则，且 所以，的值域为 由关于的不等式对任意实数都成立可知，即 综上所述，，即实数的取值范围是