【数学】重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考试题（解析版）

【数学】重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考试题（解析版）

重庆市主城区七校2019-2020学年 高二下学期期末联考试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上.‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.‎ ‎4．考试结束后，将答题卷交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．（改编）若（其中是虚数单位）,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ）‎ A．0.55 B．0.86 C．0.65 D．0.97‎ ‎3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ）‎ A．0.05　　　　 B．0.1 C．0.15 D．0.2‎ ‎4．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线方程为（ ）‎ A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0‎ ‎5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）‎ A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 ‎6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝（ ）‎ A． B． C． D． ‎7．（改编）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 ‎9．下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程:，相关系数为；则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎11．（原创）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置）‎ ‎13．（原创）若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则的虚部为 .‎ ‎14．（改编）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ ‎ ‎15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是 .‎ ‎16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有 种．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）（改编）已知二项式的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎（1）求n；‎ ‎（2）求展开式中的常数项.‎ ‎18．（本小题满分12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。‎ ‎（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望。‎ ‎19．（本小题满分12分）（改编）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. ‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.‎ ‎20．（本小题满分12分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：‎ 分值 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ 场数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。‎ ‎（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)‎ ‎（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分 ‎21．（本小题满分12分）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：‎ 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.‎ ‎（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：.‎ 参考答案 ‎1--4 D D B A 5---8 D B B C 9---12 C A C D ‎ ‎13．－3 14． 15．125 16．20‎ 一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．（改编）若（其中是虚数单位）,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ ‎,故.‎ 故选：D ‎2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（ ）‎ A．0.55 B．0.86 C．0.65 D．0.97‎ ‎【解析】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，‎ 根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，‎ 可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．故选D．‎ ‎3．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ）‎ A．0.05　　　　 B．0.1 C．0.15 D．0.2‎ 解析：由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.‎ 答案：B ‎4．（改编）曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线方程为（ ）‎ A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0‎ 解析　y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.‎ 答案　A ‎5．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）‎ A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 解析　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法。因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)。‎ 答案　D ‎6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝（ ）‎ A． B． C． D． 解析　由题意，X～B，‎ 又E(X)＝＝3，∴m＝2，‎ 则X～B，故D(X)＝5××＝.‎ 答案　B ‎7．（改编）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 解析：样本中心点是(3.5,42)，＝－，则＝－＝42－9.4×3. 5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5，故选B。‎ ‎8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 解析　将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A·A 种排法。而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A种排法，故共有A·A·A＝24种排法。‎ 答案　C ‎9．下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为；则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】由散点图分布图可知,变量 和成正相关，所以，在剔除点之后，且可看出回归直线的线性相关程度更强,更接近1.所以 .故选C.‎ ‎10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是（ ）‎ ‎　　‎ 解析　如图所示，当x∈(－∞，x0)时，函数f(x)为增函数，当x∈(x0，0)和x∈(0，＋∞)时，函数f(x)为减函数，∴x＝x0是函数f(x)的极大值点，可得f′(x0)＝0，且当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，当x∈(x0，0)和x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.由此对照各个选项，可得函数y＝f′(x)的图象只有A项符合.‎ 答案　A ‎11．（原创）有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】人数进行分组共有三种情况：；；，‎ 若分组分，共有；若分组分，共有；‎ 若分组分，共有.不同分派方法种数为.故选C.‎ ‎12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】因为，故，‎ 下面讨论的单调性：‎ 当时，，故在区间上单调递减；‎ 当时，时，，故区间上单调递减；‎ 当时，令，解得，‎ 故在区间单调递减，在区间上单调递增.‎ 又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；‎ 对函数，当时，；‎ 根据题意，对，且，使得成立，‎ 只需，‎ 即可得，‎ 解得.‎ 故选：D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置）‎ ‎13．（原创）若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则的虚部为 ________.‎ 解析　因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以＝2－3i，故的虚部为－3‎ ‎14．（改编）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)＝ ________‎ 解析：事件A的选法有CC＋CC＋CC＝26种，事件B的选法有CC＝6，所以P(B|A)＝＝。‎ ‎15．（改编）若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是 ________.‎ 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，‎ 又a0＝C1720＝1，a8＝C(－2)7＝－128，‎ 所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.‎ ‎16．（改编）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，‎ 当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，此时共有5+5=10种，‎ 综上故有10+10＝20种，‎ 故答案为20.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）(改编）已知二项式的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎（1）求n；（2）求展开式中的常数项.‎ 解　（1）由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，‎ ‎∴2n＝256，解得n＝8. ----------------------------------4分 ‎（2）该二项展开式中的第r＋1项为 Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，-------------------------8分 令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28. -----10分 ‎18．（本小题满分12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定。小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。‎ ‎（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望。‎ 解析：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，‎ 则P(A)＝××＝。------3分 ‎（2）依题意得，X所有可能的取值是1,2,3。-----5分 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝。----8分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝。------12分 ‎19．（本小题满分12分）（改编）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.‎ 解　（1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.--------2分 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.-----5分 ‎（2）由（1）知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).-------------------------7分 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；‎ 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，‎ 在(－2，－ln 2)上单调递减. ------------------------------------10分 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2.)-----12分 ‎20．（本小题满分12分）（改编）对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：‎ 分值 ‎[0,10)‎ ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ 场数 ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率。‎ ‎（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定。(结论不要求证明)‎ ‎（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分。‎ 解析：（1）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048×10＋0.024×10＝0.48＋0.24＝0.72。‎ 即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72。------4分 ‎（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在[20,30)，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定。----------------------------------------7分 ‎（3）因为组距为10，‎ 所以甲在区间[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)上得分频率值分别为，，，。‎ 设甲的平均得分为S，‎ 则S＝(5×8＋15×20＋25×48＋35×24)＝23.80。--------12分 ‎21．（本小题满分12分）（改编）随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：‎ 将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.‎ ‎（1）根据已有数据，完成下列列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列和数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 ‎22‎ ‎28‎ ‎50‎ 女生 ‎38‎ ‎12‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎∵‎ ‎∴在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.-------5分 ‎（2）依题意，.‎ ‎；‎ ‎.-----------------------------------------8分 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎----------------------------------------------------------------------------------10分 ‎----------------------------------------------------------12分 ‎22．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：.‎ 试题解析：（1）定义域，--------2分 若，，在上单调递增 若，，‎ 所以，当时，，当时，‎ 综上：若，在上单调递增；‎ 若，在上单调递增，在上单调递减-------5分 ‎（2）由（1）知，时，不可能成立；‎ 若，恒成立，，得 综上，.------------------------------------------------9分 ‎（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即 令，得，即 ‎ ，得证.-----12分