数学卷·2018届四川省成都市双流中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届四川省成都市双流中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎1．直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．椭圆11x2+20y2=220的焦距为（　　）‎ A．3 B．6 C．2 D．‎ ‎3．设向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），则“x=3”是“∥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设a=20.01，b=ln，c=log3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b ‎5．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎8．已知椭圆+=1（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f A．1 B．0 C．﹣2 D．2‎ ‎10．已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，] B．[﹣，] C．[﹣1，] D．（﹣∞，]‎ ‎12．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎13．﹣=　　．‎ ‎14．已知向量=（﹣1，1），=（3，﹣4）的夹角为θ，sinθ的值为　　．‎ ‎15．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为　　．‎ ‎16．设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则•的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎17．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，‎ ‎（1）求{an}的公比q；‎ ‎（2）求a1﹣a3=3，求Sn．‎ ‎18．已知命题P：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．‎ ‎（1）求边BC所在直线的方程；‎ ‎（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC ‎（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎21．已知平面直角坐标系中的动点M与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）记动点M的轨迹为C，过点P（﹣2，3）的直线l被C所截得的弦长为8，求直线l的方程．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市双流中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎1．直线x+y﹣1=0的倾斜角α为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．‎ ‎【解答】解：直线x+y﹣1=0 即 y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，‎ 设直线的倾斜角等于α，则 0≤α＜π，且tanα=﹣，‎ 故 α=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆11x2+20y2=220的焦距为（　　）‎ A．3 B．6 C．2 D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆11x2+20y2=220化为：，椭圆的焦距2c=2=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），则“x=3”是“∥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．‎ ‎【解答】解： =（x﹣1，4），=（2，x+1），∥，‎ ‎∴（x﹣1）（x+1）=4×2，‎ 解得x=±3，‎ ‎∵集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，‎ ‎∴“x=3”是“∥”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设a=20.01，b=ln，c=log3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】判断三个数与0，1的大小，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：a=20.01＞1，0=ln1＜b=ln＜lne=1，c=log3＜0，则a＞b＞c，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．‎ 因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．‎ 由排除法得到D正确．‎ 故答案选择D．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（　　）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，‎ ‎∴a（2a﹣1）﹣a=0，‎ 解得a=0或a=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，‎ 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即C（5，2）‎ 代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=2×5﹣2=8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆+=1（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值代入|BF2|+|AF2|12﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10列式求b的值．‎ ‎【解答】解：由0＜m＜9可知，焦点在x轴上，‎ ‎∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12‎ ‎∴|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|．‎ 当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，‎ 此时|AB|=，∴10=12﹣，‎ 解得m=3‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f A．1 B．0 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），‎ ‎∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．‎ ‎∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2，‎ ‎∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）]+f+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】解设点P（x，y），由PF1⊥PF2，得x2+y2=c2，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵F1，F2是椭圆的左右两个焦点，‎ ‎∴离心率0＜e＜1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c2=a2﹣b2，‎ 设点P（x，y），由PF1⊥PF2，得（x﹣c，y）•（x+c，y）=0，化简得x2+y2=c2，‎ 联立方程组，整理，得x2=，‎ 解得e≥，又0＜e＜1，‎ ‎∴≤e＜1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，则x+y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，] B．[﹣，] C．[﹣1，] D．（﹣∞，]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域，然后利用表达式的几何意义，求解范围即可．‎ ‎【解答】解：有序实数对（x，y）满足条件x≤y≤，表示的平面区域 如图阴影部分：令z=x+y，如图红色直线，‎ 显然，z=x+y经过A时取得最小值，经过B时取得最大值．‎ A（﹣1，﹣1），B（，）．‎ x+y∈[﹣2，]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】利用|PA|=|PB|，结合勾股定理，即可求得点P的轨迹方程，|OP|的最小值为O到直线的距离．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则 ‎∵|PA|=|PB|，‎ ‎∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1，‎ ‎∴3x+4y﹣4=0，‎ ‎∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即=‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎13．﹣=　　．‎ ‎【考点】二倍角的余弦．‎ ‎【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．‎ ‎【解答】解：cos2﹣sin2‎ ‎=cos（2×）=cos=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知向量=（﹣1，1），=（3，﹣4）的夹角为θ，sinθ的值为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件即可求出和的值，从而由求出cosθ的值，进而求出sinθ的值．‎ ‎【解答】解：根据条件，；‎ ‎∵0≤θ≤π；‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质；基本不等式．‎ ‎【分析】由已知中圆的方程x2+y2+2x﹣4y+1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，‎ 又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4，‎ 故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2=0上 即： +b=1‎ 则==（）+（）≥‎ 故的最小值为 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则•的最大值为　4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知离心率e===，即可求得b的值，则F（﹣1，0），A（2，0），设点P（x0，y0），=3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），根据向量数量积的坐标表示， •=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=（﹣1）2，由﹣2≤x0≤2，即可求得•的最大值．‎ ‎【解答】解：由焦点在x轴上的椭圆+=1，a=2，c=，‎ 离心率e===，‎ 解得：b2=3，‎ ‎∴椭圆的标准方程，‎ ‎∴F（﹣1，0），A（2，0），设点P（x0，y0），‎ 则有，解得： =3（1﹣），‎ ‎=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），‎ ‎•=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=﹣x0﹣2+3（1﹣）=﹣x0+1=（﹣1）2，‎ ‎∵﹣2≤x0≤2，‎ ‎∴当x0=﹣2时， •取最大值，最大值为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答务必写在答题卡的相应位置．‎ ‎17．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，‎ ‎（1）求{an}的公比q；‎ ‎（2）求a1﹣a3=3，求Sn．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．‎ ‎（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）‎ 由于a1≠0，故2q2+q=0‎ 又q≠0，从而 ‎（Ⅱ）由已知可得 故a1=4‎ 从而 ‎　‎ ‎18．已知命题P：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】若p∨q、￢q都是真命题，则q为假命题，p为真命题，进而可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：∵m∈[﹣1，1]，‎ ‎∴∈[2，3]‎ 对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，‎ 可得a2﹣5a﹣3≥3‎ ‎∴a≥6或a≤﹣1． 故命题p为真命题时，a≥6或a≤﹣1…‎ 又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解，‎ ‎∴△=a2﹣8＞0，即a＞2，或a＜﹣2，…‎ ‎∵p∨q、￢q都是真命题 ‎∴q为假命题，p为真命题 从而命题q为假命题时，﹣2a≤2，…‎ ‎∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为﹣2a≤﹣1…‎ ‎　‎ ‎19．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．‎ ‎（1）求边BC所在直线的方程；‎ ‎（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．‎ ‎（2）利用直线与坐标轴相交可得C坐标，利用中点坐标公式可得斜边AC的中点，设直线OB：y=kx，代入B可得k．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为 所以AB⊥BC，故kAB•kBC=﹣1，‎ 又因为A（﹣3，0），∴kAB==，∴kBC=﹣=﹣．‎ ‎∴边BC所在的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．‎ ‎（2）因为直线BC的方程为，点C在x轴上，‎ 由y=0，得x=2，即C（2，0），‎ 所以，斜边AC的中点为（0，0），‎ 故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．‎ 设直线OB：y=kx，代入，得，‎ 所以直角△ABC的斜边中线OB的方程为．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC ‎（Ⅱ）若AD=6，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC．‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，则∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，推导出BD⊥PO，AC⊥BD，求出梯形ABCD的高，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ 又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．…‎ 解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，‎ 由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，‎ ‎∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，‎ 由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD⊥PO．‎ 在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD．‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，‎ ‎∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，‎ 从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（6+2）=4，‎ 于是SABCD=×（6+2）×4=16．‎ 在等腰三角形AOD中，OD=AD=3，‎ ‎∴PD=2OD=6，PA===6，‎ ‎∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×16×6=32．…‎ ‎　‎ ‎21．已知平面直角坐标系中的动点M与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）记动点M的轨迹为C，过点P（﹣2，3）的直线l被C所截得的弦长为8，求直线l的方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意得： =5，‎ 化简得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25…‎ 所以动点M的轨迹方程是：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，‎ 动点M的轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，‎ 此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，‎ ‎∴l：x=﹣2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，‎ 圆心到l的距离d=，‎ 由题意，得（）2+42=52，解得k=．‎ ‎∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．‎ 综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．…‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且点P（2，1）在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意列出关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）利用“点差法”求出A，B所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，解得，‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的斜率为k，‎ 则，两式作差可得，得，‎ 又直线OP：，M在线段OP上，‎ ‎∴，解得k=﹣1．‎ 设直线AB的方程为y=﹣x+m，m∈（0，3），‎ 联立，得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，‎ ‎△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2＞0，得﹣3＜m＜3．‎ ‎．‎ ‎∴|AB|=，原点到直线的距离d=，‎ ‎∴．‎ 当且仅当∈（0，3）时，等号成立．‎ ‎∴△OAB面积的最大值．‎ 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