数学卷·2018届江苏省苏州市高三学业质量阳光指标调研（零模）（2018

数学卷·2018届江苏省苏州市高三学业质量阳光指标调研（零模）（2018

苏州市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 ‎(满分160分，考试时间120分钟)‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎ 1. 已知i为虚数单位，复数z＝－i的模为________．‎ ‎ 2. 已知集合A＝{1，2a}，B＝{－1，1，4}，且A⊆B，则正整数a＝________．‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝－8x的焦点坐标为________．‎ ‎ 4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．‎ ‎ 5. 已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x＝________．‎ ‎ 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为________．‎ ‎ ‎ ‎(第6题)　 　(第9题)‎ ‎7. 已知变量x，y满足则z＝2x－3y的最大值为________．‎ ‎ 8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝－，a4－a2＝－，则a3的值为________．‎ ‎ 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)‎ ‎10. 如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.‎ ‎ ‎ ‎(第10题)　 (第13题)‎ ‎11. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________．‎ ‎12. 已知正实数a，b，c满足＋＝1，＋＝1，则c的取值范围是________．‎ ‎13. 如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，P是劣弧上的一点，则·的取值范围是________．‎ ‎14. 已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2，曲线y＝2ex＋x交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．‎ 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x.‎ ‎(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；‎ ‎(2) 若x∈，求函数f(x)的单调增区间．‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．求证：‎ ‎(1) EF∥平面ABHG；‎ ‎(2) 平面ABHG⊥平面CFED. ‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 如图，B，C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100 km，海岛A在城市B的正东方向50 km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角(α<θ≤，其中锐角α的正切值为)航行到海滨公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h，车速为75 km/h.‎ ‎(1) 试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式；‎ ‎(2) 试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)．‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1) 若Sn＋Sn－1＝(n∈N*，n≥2)，且a1＝2.‎ ‎①求数列{an}的通项公式；‎ ‎②若Sn≤λ·2n＋1对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；‎ ‎(2) 数列{an}是公比为q(q>0，q≠1)的等比数列，且{an}的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意n∈N*，使得为定值，求首项a1的值．‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数f(x)＝ ‎(1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2) 若方程f(－x)＋f(x)＝ex－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a的取值范围；‎ ‎(3) 若存在实数m，n∈[0，2]，且|m－n|≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤≤e.‎ 苏州市2018届高三年级第一次模拟考试 数学附加题 ‎(本部分满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BC，垂足为F.‎ 求证：PF2＝PD·PE.‎ B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知M＝，β＝，求M4β.‎ C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1，若|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. (本小题满分10分)‎ 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，其交线为AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.‎ ‎(1) 求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；‎ ‎(2) 线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 在正整数集上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2.‎ ‎(1) 求证：f(3)－f(2)＝；‎ ‎(2) 是否存在实数a，b，使f(n)＝＋1，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．‎ ‎2018届苏州高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 ‎1. 　2. 2　3. (－2，0)　4. 　5. 　6. 48　7. －9　8. 　9. 30π　10. 18‎ ‎11. (x－1)2＋(y＋2)2＝2　 12. ‎13. [－11，－9]　 14. ‎15. 解析：(1) f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x ‎＝3cos2x＋2sinxcosx＋sin2x－2sin2x ‎＝＋－sin2x(2分)‎ ‎＝cos2x－sin2x＋2＝2cos＋2.(4分)‎ 当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值0, ‎ 此时自变量x的取值集合为.(7分)‎ ‎(2) 由(1)知f(x)＝2cos＋2.‎ 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ(k∈Z)，(8分)‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，(10分)‎ 又x∈，令k＝－1，x∈[－，－]，令k＝0，x∈，‎ 所以函数f(x)在上的单调增区间是和.(14分)‎ ‎16. 解析：(1) 因为E，F是A1D1，B1C1的中点，‎ 所以EF∥A1B1.‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB，‎ 所以EF∥AB.(3分)‎ 又EF⊄平面ABHG，AB⊂平面ABHG，‎ 所以EF∥平面ABHG.(6分)‎ ‎(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C，‎ 又BH⊂平面BB1C1C，所以BH⊥CD.(8分)‎ 设BH∩CF＝P，易知△BCH≌△CC1F，‎ 所以∠HBC＝∠FCC1.‎ 因为∠HBC＋∠PHC＝90°，‎ 所以∠FCC1＋∠PHC＝90°.‎ 所以∠HPC＝90°，即BH⊥CF.(11分)‎ 又DC∩CF＝C，DC，CF⊂平面CFED，‎ 所以BH⊥平面CFED.‎ 又BH⊂平面ABHG，‎ 所以平面ABHG⊥平面CFED.(14分)‎ ‎17. 解析：(1) 由题意，轮船航行的方位角为θ，‎ 所以∠BAP＝90°－θ，AB＝50，‎ 则AP＝＝，BP＝50tan(90°－θ)＝＝，‎ 所以PC＝100－BP＝100－.(4分)‎ 由A到P所用的时间为t1＝＝，‎ 由P到C所用的时间为t2＝＝－，(6分)‎ 所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为 f(θ)＝t1＋t2＝＋－＝＋，(8分)‎ 函数f(θ)的定义域为，其中锐角α的正切值为. ‎ ‎(2) 由(1)知f(θ)＝＋，θ∈，‎ 所以f′(θ)＝.‎ 令f′(θ)＝0，解得cosθ＝.(10分)‎ 设θ0∈，使cosθ0＝.‎ 当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：‎ θ ‎(α，θ0)‎ θ0‎ f′(θ)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(θ)‎  极小值  ‎(12分)‎ 所以当θ＝θ0时函数f(θ)取得最小值，此时BP＝＝≈17.68(km)．‎ 故在BC上选择距离B为17.68km 处为登陆点，所用时间最少．(14分)‎ ‎18. 解析：(1) 由题意知＝，所以a＝c.(1分)‎ 又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)，所以a－c＝3－3，(2分)‎ 解得c＝3，a＝3，所以b2＝a2－c2＝9，(4分)‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(6分)‎ ‎(2) 当直线l的斜率为0时，令y＝－1，则x＝±4，‎ 此时以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16；(7分)‎ 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.(8分)‎ 联立解得x＝0，y＝3，即两圆过点T(0，3)．‎ 猜想：以AB为直径的圆恒过定点T(0，3)．(9分)‎ 对一般情况证明如下：‎ 设过点M(0，－1)的直线l的方程为y＝kx－1，与椭圆C交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 消去y，整理得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝－.(12分)‎ 因为·＝(x1，y1－3)·(x2，y2－3)＝x1x2＋y1y2－3(y1＋y2)＋9＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)－3(kx1－1＋kx2－1)＋9＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－＋16＝＋16＝0，‎ 所以TA⊥TB.‎ 所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为(0，3)．(16分)‎ ‎19. 解析：(1) ①当n≥2时，Sn＋Sn－1＝，‎ 所以Sn＋1＋Sn＝，‎ 两式相减得an＋1＋an＝(a－a)，‎ 即an＋1－an＝3，n≥2；(2分)‎ 当n＝2时，S2＋S1＝，即a－3a2－10＝0，解得a2＝5或a2＝－2(舍)，‎ 所以a2－a1＝3，‎ 即数列为等差数列，且首项a1＝2，‎ 所以数列的通项公式为an＝3n－1.(5分)‎ ‎②由①知an＝3n－1，‎ 所以Sn＝＝.‎ 由题意可得λ≥＝对一切n∈N*恒成立，‎ 记cn＝，则cn－1＝，n≥2，‎ 所以cn－cn－1＝，n≥2.(8分)‎ 当n>4时，cn0，q≠1)，‎ a1·a2·…·an＝10Tn，两边取常用对数，得 Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan.‎ 令bn＝lgan＝nlgq＋lga1－lgq，‎ 则数列是以lga1为首项，lgq为公差的等差数列．(13分)‎ 若为定值，令＝μ，则＝μ，‎ 即{[(k＋1)2－μk2]lgq}n＋[(k＋1)－μk]·＝0对n∈N*恒成立，‎ 因为q>0，q≠1，‎ 所以问题等价于　‎ 将＝代入(k＋1)－μk＝0，解得μ＝0或μ＝1. ‎ 因为k∈N*，所以μ>0，μ≠1，所以a＝q.‎ 又an>0，所以a1＝.(16分)‎ ‎20. 解析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝ 当x<0时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝(舍)，‎ 所以当x<0时，f′(x)<0, ‎ 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数；(2分)‎ 当x≥0时，f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝ln2，‎ 所以当0ln2时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在区间(0，ln2)上为减函数，在区间(ln2，＋∞)上为增函数，且f(0)＝1>0.(4分)‎ 综上，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，ln2)，单调增区间为(ln2，＋∞)．(5分)‎ ‎(2) 设x>0，则－x<0，所以f(－x)＋f(x)＝x3＋x2＋ex－ax.‎ 由题意，x3＋x2＋ex－ax＝ex－3在区间(0，＋∞)上有解，等价于a＝x2＋x＋在区间(0，＋∞)上有解．(6分)‎ 记g(x)＝x2＋x＋(x>0)，‎ 则g′(x)＝2x＋1－＝＝，(7分)‎ 令g′(x)＝0，因为x>0，所以2x2＋3x＋3>0，故解得x＝1.‎ 当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，‎ 所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，‎ 故函数g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝5.(9分)‎ 要使方程a＝g(x)在区间(0，＋∞)上有解，当且仅当a≥g(x)min＝g(1)＝5，‎ 综上，满足题意的实数a的取值范围为[5，＋∞)．(10分)‎ ‎(3) 由题意知f′(x)＝ex－a.‎ 当a≤0时，f′(x)>0，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ 由f(m)＝f(n)，可得m＝n，与条件|m－n|≥1矛盾，所以a>0.(11分)‎ 令f′(x)＝0，解得x＝lna.‎ 当x∈(0，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．‎ 若存在m，n∈[0，2]，f(m)＝f(n)，则lna介于m，n之间，(12分)‎ 不妨设0≤m1时，2x≥3，即x≥.‎ 综上所述，实数x的取值范围为∪.(10分)‎ ‎22. 解析：(1) 因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP＝AB，BP⊥AB，所以BP⊥平面ABCD.又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直， 以B为原点，分别以BA，BP，BC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．‎ 因为BC⊥平面ABPE，所以＝(0，0，1)为平面ABPE的一个法向量．(2分)‎ ＝(2，－2，1)，＝(2，0，0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 即令y＝1，则z＝2，故n＝(0，1，2)．(4分)‎ 设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，‎ 显然0<θ<，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(6分)‎ ‎(2) 设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.‎ 设＝λ＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分)‎ 由(1)知平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，2)，‎ 所以cos〈，n〉＝＝＝，‎ 即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．(9分)‎ 当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.(10分)‎ ‎23. 解析：(1) 因为f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，所以f(n＋1)＝.‎ 由f(1)＝2，代入得f(2)＝＝，‎ f(3)＝＝，‎ 所以f(3)－f(2)＝－＝.(2分)‎ ‎(2) 由f(1)＝2，f(2)＝，可得a＝－，b＝.(3分)‎ 以下用数学归纳法证明：‎ 存在实数a＝－，b＝，使f(n)＝＋1成立．‎ ‎①当n＝1时，显然成立；(4分)‎ ‎②当n＝k时，假设存在a＝－，b＝，使得f(k)＝＋1成立，(5分)‎ 那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＝ ‎＝＝1＋＝＋1，‎ 即当n＝k＋1时，存在a＝－，b＝，使得f(k＋1)＝＋1成立．(9分)‎ 由①②可知，存在实数a＝－，b＝，使f(n)＝＋1对任意正整数n恒成立．(10分)‎