高中数学讲义微专题13 利用函数解决实际问题

高中数学讲义微专题13 利用函数解决实际问题

- 1 - 微专题 13 利用数学模型解决实际问题 一、基础知识： 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核 心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函 数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量 之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段 函数进行表示。 ②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可 利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找 到最值。 ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函 数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积 底 高 梯形面积 （上底 下底） 高 三角形面积 底 高 ② 商业问题： 总价 单价 数量 利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本 ③ 利息问题： 利息 本金 利率 本息总和 本金 利息 本金 利率 本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变 量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求 是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题    1 2     1 2                 - 2 - （2）与函数模型的不同之处 ①函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或 最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变 量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进 行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优 解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： ① 正弦定理：设 三边 所对的角分别为 ，则有 ② 余弦定理（以 和对角 为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数 的值域 （3）解题技巧与注意事项： ① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题： 例 1：如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 在 的延长线上， 在 的延长线上，且对角线 过 点。已知 米， 米。 （1）设 （单位：米），要使花坛 的面 积大于 32 平方米，求 的取值范围； （2）若 （单位：米），则当 的长度 分别是多少时，花坛 的面积最大？并求出最大面积。 ABC , ,a b c , ,A B C sin sin sin a b c A B C  a A 2 2 2 2 cosa b c bc A    siny A x   ABCD AMPN M AB N AD MN C 3AB  2AD  xAN  AMPN x )4,3[x ,AM AN AMPN - 3 - （1 ）思路：根据相似三角形可得线段比例： ，从而解出 ，则 ，从而可得 ，解出 的范围即可 解： 依题意可得： 解得： （2）思路：求 面积的最大值，即求表达式 的最大值，分离常数求解即 可 解：设 设 ，则 则 ，根据对勾函数可得： 时， 达到最大值，即 此时 ，所以 答：当 时，四边形 的面积最大，为 例 2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假 设某网校的套题每日的销售量 y（单位：千套）与销售价格: （单位：元/套）满足的关系式 ，其中 为常数．已知销售价格为 4 元/套时，每日可售出 套题 21 千套． ND DC AN AM 3 2 xAM x  23 2AMPN xS AN AM x    23 322 x x  x NDC NAM  ND DC AN AM  3 2 DC AN DC AN xAM ND AN AD x       23 2AMPN xS AN AM x       2 23 32 3 32 64 0 02 x x x xx        82, 8,3x       AMPN   23 2 xf x x    23 2 xf x x  )4,3[x   4 43 2 =3 2 42 2f x x xx x                  2t x   1,2t  43 4y t t       1t  y 27y  1 3t x   33, 92 xAN AM x   3, 9AN AM  AMPN 227m x  24 62 my xx   2 6,x m  - 4 - （1）求 的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数），试 确定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 1 位小数） 解：（1）将 代入关系式可得： （ 2 ） 思 路 ： 依 题 意 可 得 售 出 一 套 ， 所 得 利 润 为 元 ， 所 以 总 的 利 润 ，其中 ，利用导数判定 的单调性，进而 可求得最大值点 解：依题意所获利润 化简可得： 令 ，即解不等式 解得 在 单调递增，在 单调递减 在 取得最大值，即 例 3：某人销售某种商品，发现每日的销售量 （单位：kg）与销售价格 （单位：元/kg） 满足关系式 ，其中 为常数.已知销售价格为 8 元/kg 时， 该日的销售量是 80kg. （1）求 的值； （2）若该商品成本为 6 元/kg，求商品销售价格 为何值时，每日销售该商品所获得的利润最 大. 解：（1）当 时， ，解得： m x 4, 21x y   221 4 4 6 102 m m      2x       2102 4 62f x x xx        2 6x   f x x        2102 2 4 62f x x y x xx            3 24 56 240 278f x x x x     2 6x      ' 212 112 240 4 3 10 6f x x x x x        ' 0f x    3 10 6 0x x   2 6x   10 3x   f x 102, 3      10,63       f x 10 3x  3.3x  y x        159,6 177 ,96,)9(6 150 2 xxx xxaxy a a x 8x   215080 8 98 6 a   5a  - 5 - （2）思路：依题意可得销售商品所获得利润 ，所以 也是一个分段函 数，可以考虑分别求出每段函数值的最大值，然后进行比较即可挑出 的最大值。 解：设商品利润为 ，则有 ，由第（1）问可得： 当 时， 则 令 ，由 解得： 在 单调递增，在 单调递减 当 时， 在 单调递减 例 4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 元/千克，每次购买配料需支付运费 236 元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准 如下：7 天以内（含 7 天），无论重量度搜好，均按 10 元/天支付，超出 7 天以外的天数，根 据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支付 （1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 是多少元？  2150 5 9 ,6 96 177 ,9 156 x xxy x xx                 6f x x y    f x  f x  f x    6f x x y             21506 5 9 ,6 966 1776 ,9 156 x x xxf x x y x x xx                        6 9x       2150 5 9 6f x x x             2' 5 9 2 6 9 15 7 9f x x x x x x           ' 0f x   6,9x  6 7x   f x  6,7  7,    7 170f x f   9 15x     22177 6 3 186f x x x x        f x  9,15    9 150f x f      7 9f f   max 170f x  1.8 P - 6 - （2）设该厂 天购买一次配料，求该厂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数 关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解：（1）第 8 天剩余配料为 （千克） 第 9 天剩余配料为 千克 该厂用于配料的保管费为： （元） （2）当 时， 当 时， 综上所述： 设 为平均每天支付的费用，则 当 时， ，当 时， 当 时， 等号成立条件： （元） 例 5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是 5 元，每人可 为 3 位老人服务，乙校每位同学往返车费是 3 元，每人可为 5 位老人服务，两校都有学生参 加，甲校参加活动的学生比乙校至少多 1 人，且两校同学往返总车费不超过 45 元，如何安排 甲，乙两校参加活动的人数，才能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少 人？ 思路：本题涉及的变量有两个：甲校人数与乙校的人数，且所给条件均为关于两校人数的不 等式，所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为 ，乙校人数为 ，所求问题为目标函 数 ，列出约束条件后通过数形结合即可求出 的最大值 x x y x 2 200 400  200  70 0.03 400 0.03 200 88P       7x  360 10 236 236 370y x x x     7x     360 236 70 6 7 6 2 1y x x x            23 321 432x x   2 236 370 , 7 3 321 432, 7 x xy x x x       W 2 236 370 , 7 3 321 432 , 7 x xy xW x x x xx        7x  236 370 236370xW x x    7x  min 2826 4047W   7x  432 144 1443 321 3 321 3 2 321 393W x x xx x x               144 12x xx   min 393W  x y 3 5z x y  z - 7 - 解：设甲校人数为 ，乙校人数为 ，依题意， 应满足的条件为： 目标函数 ，通过数形结合 可得。动直线 经过 时， 取得最大值 例 6：如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人 求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处，若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒，在海中的行进速度为 2 米/秒， 。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出 最短时间 解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到 处时间短， 所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。 解：从图形可得： ，所以 （s） 而 ，所以 （s） ，所以救生员的选择是正确的 （2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量 ，并构造出时间关于 的函数 ， 再 求 出 的 最 小 值 即 可 。 不 妨 设 ， 则 ， 所 以 时 间 ，再求导求出 的最小值即可 解：设 ，则 ，设所用时间为 x y ,x y 5 3 45 1 , x y x y x y N          33 5 5 5 zz x y y x      l M z 5 3 45 6: 1 5 x y xM x y y          6,5M max 3 5 43z x y   45BAD   B 300 300 2sin45AB   1 300 2 150 22t   300AD BD  2 300 300 2006 2t    1 2t t x x  f x  f x CD x 2 2300BC x    2 2300 300 6 2 x xf x     f x CD x 2 2300BC x   f x - 8 - 令 ，即解不等式 ，解得： 在 单调递减，在 单调递增 （秒） 答：当 时，救生员所用的时间最短，为 秒 答：甲，乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时，受到服务的老人最多，最多为 43 人 例 7：某人有楼房一幢，室内面积共计 180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间 面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15m2，可以住游 客 3 名，每名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少 间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为 间，小房间为 间，每天的房租 收益为 元），求 各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益 是多少？ 思路：本题的主要变量是 ，从题目中可发现对 的约束条件有 3 个，一个是房间数必 须是非负整数，所以 ，第二个条件是室内面积为 ，所以大小房间面积和要不 大 于 ， 第 三 个 条 件 是 装 修 费 用 总 和 不 高 于 8000 元 ， 据 此 列 出 约 束 条 件 ： ，所求收益 ，所 以该模型为线性规划问题，数形结合即可。 解：依题意可得对 的约束条件为：    2 2300 300 6 2 x xf x      2 2 ' 2 2 2 2 1 1 2 300 3 6 2 2 300 6 300 x x xf x x x            ' 0f x  2 2 2 23 300 0 3 300x x x x      2 2 29 300x x   2 2 300 8x  75 2x   f x  0,75 2  75 2,300    min 75 2 50 100 2f x f    75 2CD  50 100 2 x y z ,x y ,x y ,x y ,x y N 2180m 2180m 18 15 180 1000 600 8000 , x y x y x y N        200 150z x y  ,x y - 9 - ，所求目标函数为 作出可行域，依图可得：直线过 或 时， 最大，即 答：当大房间为 3 间，小房间为 8 间；或者不设大房间，小房间为 12 间时，收益最大，最大 值为 元 例 8：某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定， 棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 的圆面，该圆面的内接四边 形 是原棚户建筑用地，测量可知边界 万米， 万米， 万米 （1）请计算原棚户区建筑用地 的面积及圆面半径 的值 （2）因地理条件的限制，边界 不能变更，而边界 可以调整，为了提高棚户 区改造建筑用地的利用率，请在圆弧 上设计一点 ，使得棚户区改造的新建筑用地 的面积最大，并求最大值 解：（1）在 中，由余弦定理可得： ① 在 中，由余弦定理可得： ② 因为四边形 内接于圆 所以由①②可得： 解得： （万平方米） 由余弦定理可得： 18 15 180 6 5 60 1000 600 8000 5 3 40 , , x y x y x y x y x y N x y N                 200 150z x y   3,8M  0,12M z max 18000z  18000 R ABCD 4AB AD  6BC  2CD  ABCD R ,AD CD ,AB BC ABC P APCD ABC 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     ADC 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC D     ABCD 180B D     cos cosB D   2 2 2 24 6 2 4 6cos 4 2 2 4 2cosB B         1cos 602B B     120D   1 1sin sin2 2ABCD ABC ADCS S S AB BC B AD DC D          1 14 6 sin60 2 4 sin120 8 32 2          2 2 2 2 cos 28AC AB BC AB BC B      2 7AC  - 10 - （2）设 ，可知 由（1）可知 若要 面积最大，只需 最大 在 中，由余弦定理可得： 即 ，即 当且仅当 时，等号成立 所以四边形 的最大面积为 万平方米 例 9：如图是一块平行四边形园地 ，经测量， ， 拟过线段 上一点 设计一条直路 （点 在四边形 的边上，不计路的宽度）， 将该园地分为面积比为 的左，右两部分，分别种植不同的花卉，设 （单 位：m） （1）当点 与点 重合时，试确定点 的位置 （2）求 关于 的函数表达式 （3）试确定点 的位置，使得直路 长度最短 解：（1）当 与 重合时， （设 为平行四边形的高） 依题意可得： 即 即 为 的中点 2 7 4 212 sin 33 2 ACR B    2 21 3R  ,AP x CP y  APCD APC ADCS S S   2 3ADCS   APCD APCS 1 1 3sin sin2 2 4APCS AP CP P AP CP B xy     APC 2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC P    2 2 2 228 2 cos60 28x y xy x y xy        2 2 2x y xy  2 228 2x y xy xy xy      28xy  x y 3 32 3 2 3 28 9 34 4APCDS xy       APCD 9 3 ABCD 20 , 10 , 120AB m BC m ABC     AB E EF F ABCD 3:1 ,EB x EF y  F C E y x ,E F EF F C 1 2BEFS BE h   h ABCDS AB h  1 4BEF ABCDS S 1 1 2 4BE h AB h     1 2BE AB  E AB - 11 - （2） 在线段 上 当 时，可得 在线段 上 在 中 当 时，点 在线段 上，此时四边形 为梯形或平行四边形 ，由 得： 当 时， 当 时， 即 综上所述可得： （3）即求 的最小值 当 时， 等号成立条件： E AB 0 20x    10,20x  F BC 20 , 10 , 120AB m BC m ABC      3sin 20 10 100 32ABCDS AB BC ABC        1 25 34EBF ABCDS S    1 3sin1202 4EBFS BE BF x BF      100BF x   BEF 2 2 2 2 2 100 1002 cos 2 cos120EF BE BF BE BF EBF x xx x             2 2 10000 100y EF x x      0,10x  F CD EBCF    1 10 sin602EBCFS x CF      1 25 34EBCF ABCDS S  10CF x  BE CF    22 210 2 10 2 10 2 10 cos120 2 5 25EF x x x x          BE CF    22 210 10 2 2 10 10 2 cos60 2 5 25EF x x x x          22 5 25y x x   2 2 2 10000 100,10 20 2 5 25,0 10 x xxy x x x             y  10,20x  2 2 2 2 10000 10000100 2 100 10 3y x xx x       2 2 10000 10x xx   - 12 - 当 时， 等号成立条件： ，此时 例 10：如图，在海岸线 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 ， 该曲线段是函数 的图像，图像的最高 点为 ，边界的中间部分为长 1 千米的直线段 ，且 ∥ ，游乐场的后一部分 边界是以 为圆心的一段圆弧 （1）求曲线 的函数表达式 （2 ）曲线段 上的入口 距海岸线 最 近距 离为 千米，现准备从入口 ，修一条笔直的景观 路 到 ，求景观路 的长度 （3）如图，在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区 ，平行四边形的一边在海岸 线 上，一边在半径 上，另外一个顶点 在圆弧 上，且 ，求平行 四边 形休闲区 面积的最大值及此时 的值 解：（1）由 可知 ， 对于 ， 此时 ，由图像过 可得：  0,10x  25 752 5 32 4y x       5 2x  min 5 3y  2.5, 7.5BE CF  EF FGBC       sin 0, 0, 0, , 4,0y A x A x            1,2B  CD CD EF O DE FGBC FGBC G EF 1 G O GO ODE OMPQ EF OD P DE POE   OMPQ   1,2B  2A   4,0F    siny A x      4 1 4 12T        2 6T     2sin 6y x       1,2B  2sin 2 sin 16 6                    26 2 k k Z       2= 3  - 13 - 曲线 的函数表达式为 （2）由已知可得 或 解得： 或 ，由 可得： （3）由图可知， 过 作 轴于 在 中 在 中 时， 的最大值为  FGBC 22sin 6 3y x      1Gy  2 2 12sin 1 sin6 3 6 3 2G Gx x                  2 = 26 3 6Gx k      2 5= 26 3 6Gx k     3 12Gx k   1 12Gx k   4,0Gx    3,1G  10OG  3, 1OC CD  2, 6DO COD     P 1PP x 1P  1Rt OPP 1 sin 2sinPP OP    OMP  sin120 sin 60 OP OM       2 3sin 60 2cos sinsin120 3 OPOM          1 2 3 2 3 2 32cos sin 2sin 2sin2 cos23 3 3OMPQS OM PP                  4 3 2 3sin 2 , 0,3 6 3 3                2 6 2 6         OMPQS 2 3 3