数学（文）卷·2019届天津市六校（静海一中，宝坻一中等）高二上学期期末联考（2018-01）

数学（文）卷·2019届天津市六校（静海一中，宝坻一中等）高二上学期期末联考（2018-01）

‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高二数学（文）试卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．‎ ‎（1）抛物线的准线方程为（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）命题“，”的否定是（ ）．‎ ‎（A）， （B）， ‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（3）直线的倾斜角为（ ）．‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知空间两点，，则两点间的距离为（ ）．‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ 第（5）题图 x y ‎（5）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（ ）．‎ ‎（A）个 （B）个 （C）个 （D）个 第（6）题图 ‎（6）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，‎ 俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均在 同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． ‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）设是空间一点，是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）．‎ ‎（A）当且，时，若，，则 ‎（B）当且，时，若，，则 ‎（C）当时，若，则 ‎（D）当，且时，若，则 ‎（8）下列四个条件中，是的充分不必要条件的是（ ）．‎ ‎（A）有非零向量，，直线，直线，，‎ ‎（B），直线与平行 ‎ ‎（C），为双曲线 ‎（D），曲线过原点 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸相应位置上．‎ ‎（9）两条平行线与间的距离为_______．‎ ‎（10）若直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于，则实数的取值范围是_______．‎ ‎（11）已知函数，，则_______． ‎ ‎（12）直线关于直线对称的直线方程为______________.‎ ‎（13）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______________.‎ ‎（14）已知命题:在上恒成立，命题: ，若且为真，则实数的取值范围是______________． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知两点，，圆以线段为直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线:， ‎ ‎①若直线与圆相切，求直线的方程；‎ ‎②若直线与圆相交于,不同的两点，是否存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，若不存在说明理由，若存在求出值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知椭圆．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，左焦点；‎ ‎（Ⅱ）经过椭圆的左焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 设为实数，函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥中，底面为正方形，且，‎ 为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求与底面所成角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知函数,．若 ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若对，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆：过点，其上顶点与左右焦点构成等腰三角形，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）以点为焦点的抛物线：上的一动点，抛物线在点处的切线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与过点且垂直于轴的直线交于点，问：当时，面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由.‎ ‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高二数学（文）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．‎ ‎（1）D 提示：，准线方程. ‎ ‎（2）C ‎ ‎（3）C 提示：，故 ‎（4）B 提示：，,‎ ‎（5）C 提示：当导函数值由负到正时，函数存在极小值，则从导函数图象知有3个 ‎（6）A 提示：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12,8,6的长方体，则该长方体的外接球的直径，于是球的表面积等于 ‎（7）C ‎（8）B 提示：选项A,C中是的必要不充分条件；选项中是的充分必要条件；选项B满足条件 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9） 提示：．‎ ‎（10） 提示：，‎ ‎（11） 提示：，．‎ ‎（12） 提示：直线上任意一点关于的对称点一定在对称直线上 ‎（13） 提示：得，双曲线方程是 ‎ ‎（14） 提示：:在上恒成立，，即； :，，即或．若且为真，则 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13 分）‎ 解：（Ⅰ）圆的直径，故半径为．‎ 圆心坐标为，的中点，‎ 所以圆的方程为. ……………………………5分 ‎（Ⅱ）①直线:，若直线与圆相切，‎ 则圆心到直线的距离，解得或，………8分 所以直线的方程为或. ……………9分 ‎②由方程组 消去，整理得 ‎. ………………………10分 若直线与圆相交于,不同的两点，则，‎ 得或. ……………………………………………11分 设,，则.‎ 若，解得. …………………………………12分 所以存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，此时.13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆知，则，故. …………2分 所以椭圆的长轴，短轴，离心率，‎ 左焦点. …………………………5分 ‎（Ⅱ）设直线方程，由方程组消去，整理得 ‎. ……………………………………6分 设，‎ 则，. ……………………………8分 又因为，且已知， ‎ 所以．‎ 整理化简后得．‎ 解得，， ……………………………11分 所以直线的方程：或．‎ 即或． …………………………………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），当时，．‎ 令，解得或. ………………………………3分 列表如下：‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎ …………………………6分 ‎，，‎ 所以的极大值为，极小值为 ．………………………………8分 ‎（Ⅱ）， ……………………………10分 当时，，‎ 此时单调递增区间为，；减区间为.……………11分 当时，，‎ 此时单调递增区间为，；减区间为 . …………12分 当时， 此时函数在上单调递增. …………………13分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为底面为正方形,连结交于点，‎ 则为的中点.连结,…………………………2分 因为为的中点，故.…………………3分 又平面，平面,‎ 所以平面. ……………………4分 ‎（Ⅱ）由于，故为异面直线与所成角. …………………5分 因为，故.又,，‎ 所以平面.又平面，故. ………………6分 所以三角形为直角三角形，，， ………7分 ‎.‎ 即异面直线与所成角的正切值为. ………………………8分 ‎（Ⅲ）取中点,则，且.‎ 又由，可得平面，所以平面.‎ 故为与底面所成的角. ………………………12分 又，，‎ ‎，‎ 所以与底面所成角的余弦值为. ……………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎． ……………………………… 2分 由，解得. ……………………………3分 ‎（Ⅱ）可知，于是 ‎． …………………………4分 当时，‎ ‎，‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 减 增 减 可知函数在处取得极小值． ……………………………6分 由于，‎ 故对，最小值为． ……………………8分 使恒成立，只要， …………………9分 所以． ………………………………10分 ‎（Ⅲ）由，整理后得．‎ 所以． …………………………………11分 令，则． …………… 12分 显然．‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数．‎ 所以当时，，即的值域为． ‎ 所以使方程有实数解的的取值范围． …… 14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得①和②，解得，．‎ 故椭圆的方程为. …………………………………4分 ‎（Ⅱ）抛物线的焦点,则其方程为. ………………………5分 于是抛物线上点的坐标是，则在点处的切线的斜率为， …………………………6分 故切线的方程为，即.‎ 由方程组消去， ‎ 整理后得． ………………………………7分 由已知直线与椭圆交于两点，则． ‎ 解得，其中是不合题意的．‎ 所以 或． ………………………8分 设，则. …………………………9分 代入的方程得.‎ 故直线的方程为，即. …………………………10分 当时，，即点. …………………………11分 面积. ……………………12分 因为，故关于单调递增.‎ 因为时，‎ 所以当时，面积最大值为. …………………………14分 ‎ ‎