5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题06 不等式
专题 6 不等式
【2012高考真题精选】
1．（2012·浙江）设a>0，b>0，e是自然对数的底数( )
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a
b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
【答案】D 【解析】本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
4．（2012·北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是( )
A．a1＋a3≥2a2
B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2
D．若a3>a1，则a4>a2
【答案】B 【解析】本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．对于A选项，当数列{an}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如an＝(－1)n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a ＋ a≥2|a1 a3 | ＝ 2a，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a1(q2－1)>0，而a4－a2＝a2(q2－1)＝a1q(q2－1)的符号还受到q符号的影响，不一定为正，也就得不出a4>a2，故D错误．
5．（2012·天津）集合A＝中的最小整数为________．
【答案】－3 【解析】将|x－2|≤5去绝对值得－5≤x－2≤5，解之得－3≤x≤7，∴x的最小整数为－3.
6．（2012·江苏）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
7．（2012·湖南）不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．
【答案】{x|2≤x≤3} 【解析】本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式．
解不等式得 (x－2)(x－3)≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}．
8．（2012·北京）已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是________．
【答案】(－4,0) 【解析】本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础
9．（2012·北京）已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
【答案】D 【解析】本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)
10．（2012·广东）设00}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
x1＝，
x2＝.
∵x10，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，
∴D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当00|，则N＝{x∈R|g(x)<2}，则M∩N为( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－∞，1)
【答案】D 【解析】因为f(g(x))＝[g(x)]2－4g(x)＋3，所以解关于g(x)不等式[g(x)]2－4g(x)＋3＞0，得g(x)＜1或g(x)＞3，即3x－2＜1或3x－2＞3，解得x＜1或x＞log35，所以M＝(－∞，1)∪(log35，＋∞)，又由g(x)＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x＜log34，所以N＝(－∞，log34)，故M∩N＝(－∞，1)，选D.
13．（2012·江西）不等式>0的解集是________．
【答案】{x|－33} 【解析】原不等式可化为(x＋3)(x－3)(x－2)>0，利用穿针引线法可得{x|－33}．
14．（2012·重庆）已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
15．（2012·天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )
A．－5 B．－4
C．－2 D．3
【答案】B 【解析】概括题意画出可行域如图．
当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值z＝0×3－2×2＝－4.
16．（2012·四川）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋4y的最大值是( )
A．12 B．26
C．28 D．33
【答案】C 【解析】由已知，画出可行域如图，
可知当x＝4，y＝4时，z＝3x＋4y取得最大值，
最大值为28.
17．（2012·辽宁）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
18．（2012·课标全国）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
19．（2012·广东）已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
【答案】C 【解析】作出可行域，如图所示．
目标函数变形为：y＝－x＋z，平移目标函数线，显然当直线经过图中A点时，z最小，由 得A(－1，－2)，所以zmin＝－1－4＝－5.所以选择C.
20．（2012·福建）若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1 C. D．2
21．（2012·全国）若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
【答案】－1 【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．
利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.
22．（2012·安徽）若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0 C. D．3
23．（2012·浙江）设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．
【答案】
【解析】约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO及其内部，由目标函数z＝x＋2y可得y＝－x＋，直线x＋2y－z＝0平移通过可行域时，截距在B点取得最大值，在O点取得最小值，B点坐标为， 故z∈.
24．（2012·陕西）设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；
(3)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．
【答案】解：(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.
∵ff(1)＝×1＜0.
∴f(x)在内存在零点．
又当x∈时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，
∴f(x)在上是单调递增的，
∴f(x)在内存在唯一零点．
25．（2012·北京）设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
26．（2012·湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．
【答案】2
【解析】作出不等式组 所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)．
可知当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝1与直线3x－y＝3的交点M(1,0)时，z＝2x＋3y取得最小值，且zmin＝2.
27．（2012·山东）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
【答案】A 【解析】本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题．
可行域为如图所示阴影部分．
当目标函数线l移至可行域中的A点(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点时，目标函数有最小值z＝3×－3＝－.
28．（2012·浙江）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
【答案】C 【解析】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．
由x>0，y>0，x＋3y＝5xy得＋＝1，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5，当且仅当＝即x＝1，y＝时等号成立．
29．（2012·陕西）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
【答案】A 【解析】由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v＝＝，又∵a1时，f(x)<(x－1)；
(2)当10时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
【答案】解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.[来源:Z_xx_k.Com]
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．
(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x (x>0)． ①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k0，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10 km.
(2)因为a>0，所以
炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.[来源:学*科*网]
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
38．（2012·四川）设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．
(写出所有真命题的编号)
【答案】①④ 【解析】由a2－b2＝1，所以a2＝1＋b2＞1，又a是正实数，故a＞1，进而a＋b＞1，
分解因式得(a＋b)(a－b)＝1，
∴a－b＝＜1.①正确．
由－＝1且a、b是正实数，可得a－b＝ab，不能保证小于1，如b＝，a＝2，
此时a－b＝ab＝＞1.②错误．
由|－|＝1，取a＝4，b＝1可知|a－b|＝3＞1，故③错误．
由|a3－b3|＝1，不妨设a＞b，即a3－b3＝1，于是a3＝1＋b3，因为a、b都是正实数，
故a3＝1＋b3＞1⇒a＞1，
于是(a－b)(a2＋ab＋b2)＝1⇒a－b＝＜1，从而④正确．
39．（2012·四川）如图1－6，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.
图1－6
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．
综上所述，的取值范围是∪.
40．（2012·四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当01，则的取值范围是( )
图K26－1
A. B.
C.∪[0，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】由题意可知f(x)在(0，＋∞)单调递增，所以f(3a＋2b)>1，即为。因此结合线性规划区域，可以知道表示的是区域内的点与(－1,1)连线的斜率的取值范围，结合图象可得．
4．（2013·青岛模拟）已知点A(m，n)在直线x＋2y－2＝0上，则2m＋4n的最小值为________．
【答案】4 【解析】点A(m，n)在直线x＋2y－2＝0上，则m＋2n－2＝0，即m＋2n＝2,2m＋4n≥2＝2＝4.
5．（2013·辽宁模拟）设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
6．（2013·绍兴一中模拟）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为________．
【答案】 cm 【解析】本题实际上是求正方形窗口边长最小值．由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小．如图所示：
设AE＝x，BE＝y，
则有AE＝AH＝CF＝CG＝x，BE＝BF＝DG＝DH＝y，
∴⇒∴AB＝x＋y＝10＋＝.
7.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知为实数，条件p：，条件q：，则p是q的( )
A．充要条件 B．必要不充分条 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得。由得。所以p是q的必要不充分条件，选B.
8.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如果实数x，y满足条件那么的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
【答案】B
【解析】由约束条件画出可行域知，当直线过点（0，-1），t最大，故选B
9.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若实数x,y满足且的最小值为4，则实数b的值为（ ）
A．0 B．-2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可得，且在点处取得最小值4，则可求得b=3
10.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】 已知，，则的最小值是
【答案】9
【解析】，当且仅当即，时取等号，此时，取等号，此时最小值为9.
11.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】设满足约束条件，则目标函数的最大值为 ___________．
12.【上海市闸北2013届高三一模】设不等式的解集为，若，则
．
【答案】
【解析】ÞÞ①，
∴由ÞÞÞ.
13【上海市松江2013届高三一模】已知y=f(x)是定义在R上的增函数，且y=f(x)的图像
关于点(6, 0)对称．若实数x、y满足不等式f(x2-6x)+f(y2-8y+36)≤0，则x2+ y2的取值范围是 .
14【上海市崇明2013届高三一模】
已知函数的值域为，若关于的不等式
的解集为，则实数的值为 .
15.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是 ．
【答案】9
【解析】本题考查不等式的有关知识与方法.
max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}≥max{x1x2，x3x4，x4x5}≥≥≥9.
当x1= x3= x5=9，x2= x4＝1.
16.【上海市徐汇2013届高三一模】 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3，则x1×x2×x3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在” .
【答案】 1
【解析】y=f(x)的图像同文科，不妨设x1< x2< x3，由Þx1=；由|x-2|=mÞx2=2-m，x3=2+m，∴x1×x2×x3=，当且仅当m2=4-m2，即m=时等号成立，故x1×x2×
x3有最大值为1.
17.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是 .
18.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，当且仅当时取等号，所以要使不等式恒成立，则有，成立，即，所以解得。
19.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】 不等式 的解集是
【答案】
【解析】原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。
20.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知的最大值为
【答案】
【解析】因为
21.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是__.
【答案】
【解析】可行域如图，显然当直线过M(-2,1)时，.
22.【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】若，则的最小值为
【答案】4
【解析】，当且仅当，即，即时取等号，所以最小值为4.
23.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=_________。
24.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知，则的最小值是 .
【答案】4
【解析】由，得，即，所以，由，当且仅当，即，取等号，所以最小值为4.
25.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】（本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关于的不等式.
【答案】由题意知.
且故二次函数在区间上是增函数.…………………………4分
26.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】（本小题满分12分）已知是实数，试解关于的不等式：
