专题18+平面向量的概念及其线性运算-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

专题18+平面向量的概念及其线性运算-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过

点18 平面向量的概念及其线性运算 ‎1．平面向量的实际背景及基本概念 ‎（1）了解向量的实际背景.‎ ‎（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.‎ ‎（3）理解向量的几何表示.‎ ‎2．向量的线性运算 ‎（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.‎ ‎（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.‎ ‎（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)‎ 向量或；‎ 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 共线向量 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 ‎1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 ‎2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.‎ ‎【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．‎ ‎ ‎ 考向一 平面向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注以下六点：‎ ‎(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．‎ ‎(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．‎ ‎(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．‎ ‎(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．‎ ‎(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.‎ 典例1 设a0为单位向量，给出下列命题：‎ ‎①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0；‎ ‎②若a与a0平行，则a=|a|a0；‎ ‎③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.‎ 上述命题中，假命题的个数是 A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】D 综上所述，假命题的个数是3.故选D.‎ ‎ ‎ ‎1．设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是 A． B． ‎ C．且 D．且方向相同 考向二 向量的线性运算 平面向量线性运算问题的求解策略：‎ ‎(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．‎ ‎(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.‎ 典例2 如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC‎=3‎EC,F为AE的中点,则BF‎=‎ A．‎1‎‎3‎AB‎-‎‎2‎‎3‎AD B．‎‎2‎‎3‎AB‎-‎‎1‎‎3‎AD C．‎-‎1‎‎3‎AB+‎‎2‎‎3‎AD D．‎‎-‎2‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎AD ‎【答案】D ‎【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.‎ 在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.‎ ‎2．已知的外心P满足AP‎=‎1‎‎3‎(AB+AC)‎,则cosA=‎ A． B．‎‎3‎‎2‎ C．‎-‎‎1‎‎3‎ D．‎‎3‎‎3‎ 典例3 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由平行四边形法则，得，故λ=2.‎ ‎3．在中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 A． B． C． D． 考向三 共线向量定理的应用 共线向量定理的主要应用：‎ ‎(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．‎ ‎【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ 典例4 已知两个非零向量a与b不共线.‎ ‎（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a−b),求证:A,B,D三点共线;‎ ‎（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. ‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）k=1或−1.‎ 又∵它们有公共点B,‎ ‎【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一条件,列出方程组,解出参数.‎ ‎4．已知向量,,,若三点共线,则实数k的值等于 A．10 B．-10 C．2 D．-2 ‎1．下列命题正确的是 A． B． C． D． ‎2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 A． B． C． D． ‎3．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB‎=a，AC‎=b，‎AD‎=ma+nb ，则m-n=‎ A．‎0‎ B． ‎ C．‎-1‎ D．‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎4．已知正方形ABCD的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则|a+b+c|等于 A．0 B． C． D．3‎ ‎5．已知向量是两个不共线的向量，若共线，则的值为 A． B．−2 ‎ C． D．2‎ ‎6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 ，则=‎ A． B． C． D． ‎7．设向量=，=，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．若P为所在平面内的一点，且满足 ，则点P的位置为 A．P在的内部 B．P在的外部 C．P在AB边所在的直线上 D．P在AC边所在的直线上 ‎9．在中,D在AB上,AD:DB=1：2，E为AC中点,CD、BE交于点P连接AP.设AP‎=xAB+yAC(x,‎ ,则的值分别为 A． B． C． D． ‎ ‎10．设O在的内部，D为AB的中点，且，则 的面积与的面积的比值为 A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎11．已知向量a,b不平行,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R，3a=c,2b=d,e=t(a+b),若C,D,E三点在一条直线上时，则t的值为________.‎ ‎12．设D,E分别是的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________．‎ ‎13．已知向量中任意两个都不共线,且与共线,与共线,则向量________.‎ ‎14．若O是ΔABC所在平面内一点，且满足‎|OB-OC|=|OB+OC-2OA|‎，则ΔABC的形状为________.‎ ‎15．如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足.若 ，则的最小值为________.‎ ‎1．（2015年高考新课标Ⅰ卷）设为所在平面内一点，，则 A． B． C． D． ‎2．（2015年高考北京卷）在中,点M,N满足=2, .若=x+y,则x=________;‎ y=________.‎ ‎3．（2015年高考新课标Ⅱ卷）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】D ‎【解析】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是与同向即可，故选D．‎ ‎2．【答案】A ‎ ‎3．【答案】B ‎ ‎【解析】如图，因为，所以，又B,P,N三点共线，所以，则.‎ ‎4．【答案】C ‎ ‎【解析】因为A、B、D三点共线,所以 ,所以  ,所以， ,应选C.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎2．【答案】D ‎ ‎【解析】因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,所以由向量加法的平行四边形法则得，，所以 .选D.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】连接OC、OD、CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得‎∠AOC=∠COD=∠BOD=‎‎60‎‎°‎，且ΔOAC和ΔOCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以 AD‎=AO+AC=‎1‎‎2‎AB+AC=‎1‎‎2‎a+b‎，所以m=‎1‎‎2‎，n=1，m-n=-‎‎1‎‎2‎，故选D .‎ ‎4．【答案】B ‎ ‎【解析】由题意知：故选B.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】向量共线，则存在实数满足：，据此可得：，解得.本题选择A.‎ ‎6．【答案】C ‎ 7．【答案】A ‎【解析】充分性：当时，，∴，∴成立，充分性成立；‎ 必要性：∵且，∴，解得，必要性不成立，故为充分不必要条件.‎ ‎8．【答案】D ‎ ‎【解析】由 得， ， P在AC边所在的直线上.故选D. ‎ ‎9．【答案】C ‎ ‎【解析】因为为AC中点，所以, .因为 D、P、C三点共线，所以存在实数，使得 所以 = .因为E、P、B三点共线,同理存在实数 ，使得 = ，所以 ‎ ，解得 .所以= ，而 ，所以 .选C.‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】∵D为AB的中点，则，‎ 又，∴，∴O为CD的中点，‎ 又∵D为AB中点，∴，则.‎ ‎11．【答案】 ‎ ‎【易错分析】本题可以根据向量共线满足的条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解. 考生应该注意向量共线与直线共线的区别,向量共线是指向量所在的直线平行或者重合,而直线共线是指它们重合.‎ ‎12．【答案】　‎ ‎【解析】由题意得‎ ‎DE=DB+BE=‎1‎‎2‎AB+‎2‎‎3‎BC=‎1‎‎2‎AB+(BA+AC)=−‎1‎‎6‎AB+‎2‎‎3‎AC,所以λ1=−,λ2=,即λ1+λ2=.‎ ‎13．【答案】‎0‎ ‎ ‎【解析】因为与共线，与共线，所以，；可得，整理得 ；因为不共线，所以 ，解得 ，所以，移项可得0.‎ ‎14．【答案】直角三角形 ‎【解析】∵CB‎=OB-‎OC，AB‎=OB-‎OA，AC‎=OC-‎OA，∴‎|OB-OC|=|OB+OC-2OA|‎，即‎|CB|=|AB+AC|‎，∵CB‎=AB-‎AC，∴‎|AB-AC|=|AB+AC|‎，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，∴‎∠BAC=90°‎，得的形状是直角三角形，故答案为直角三角形.‎ ‎15．【答案】 ‎ ‎直通高考 ‎1．【答案】A ‎ ‎【解析】由题知，故选A.‎ ‎2．【答案】 ‎ ‎【解析】由题中条件得MN‎=‎MC+CN‎=‎‎1‎‎3‎AC+‎1‎‎2‎CB‎=‎‎1‎‎3‎AC+(AB‎-‎AC)=‎1‎‎2‎AB‎-‎‎1‎‎6‎AC=xAB+yAC,所以x=,y=‎-‎‎1‎‎6‎.‎ ‎3．【答案】 ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．‎ ‎ ‎ ‎ ‎