数学文卷·2018届天津市第一中学高三下学期第四次月考（2018

数学文卷·2018届天津市第一中学高三下学期第四次月考（2018

‎2017~2018学年度高三年级 四月考数学（文科）学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.‎ 考试时间120分钟，祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1. 若复数z满足z(1 + i)2 = 1 - i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于 ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 设xÎR，则“ïx - 2ï< 1”是“x2 + x - 2 > 0”的 ‎ A. 充分不必要条件 ‎ B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 ‎ D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 设动点P(x, y)满足 则z = 5x + 2y的最大值是 ‎ A. 50 B. 60‎ ‎ C. 90 D. 100‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ‎ A. 1 B. 2‎ ‎ C. 3 D. 4‎ ‎5. 已知双曲线（b > 0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A, B, C, D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知实数，a > 0，b > 0，，则a + 2b的最小值是 ‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎7. 已知函数 则对任意x1, x2ÎR，若，下列不等式成立的是 ‎ A. f (x1) + f (x2) > 0 B. f (x1) + f (x2) < 0‎ ‎ C. f (x1) - f (x2) > 0 D. f (x1) - f (x2) < 0‎ ‎8. 已知向量，，满足，，，E，F分别是线段BC，CD的中点，若，则向量与的夹角为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 若集合，，则 ▲ .‎ ‎10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ .‎ ‎11. 若函数f (x) = x3 - 6bx + 3b在(0, 1)内有极小值，则实数b的取值范围是 ▲ .‎ ‎12. 已知圆C的圆心与抛物线y2 = 4x的焦点关于直线y = x对称，直线4x - 3y - 2 = 0与圆C相交于A, B两点，且ïABï= 6，则圆C的标准方程为 ▲ .‎ ‎13. 已知函数（ω > 0）在上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是 ▲ .‎ ‎14. 已知函数 函数g(x) = f (x) - ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名.‎ ‎（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值；‎ ‎（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择.‎ ‎（ⅰ）请列出该客户的所有可能选择的情况；‎ ‎（ⅱ）求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ ‎△ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c，若，B = 2C.‎ ‎（Ⅰ）求cos B；‎ ‎（Ⅱ）若c = 5，点D为边BC上一点，且BD = 6，求△ADC的面积.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA = PD =，设E、F分别为PC、BD的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PDC；‎ ‎（Ⅲ）求直线EF与平面ABCD所成角的大小.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2an - 2（nÎN*），数列{bn}满足b1 = 1，且点P(bn, bn+1)（nÎN*）在直线y = x + 2上.‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an·bn}的前n项和Dn；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列{cn}的前2n项和T2n.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知函数（aÎR）.‎ ‎（Ⅰ）当a = -1时，求f (x)在点(1, f (1))处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当a > 0时，求函数f (x)的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）当a = 0时，证明：f (x) < 2ex - x - 4（其中e为自然对数的底数）.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：（a > b > 0）的长轴长是短轴长的2倍，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若在椭圆上有相异的两点A，B（A, O, B三点不共线），O为坐标原点，且直线AB，直线OA，直线OB的斜率满足（kAB > 0）.‎ ‎（ⅰ）求证：是定值；‎ ‎（ⅱ）设△AOB的面积为S，当S取得最大值时，求直线AB的方程.‎ 参考答案 一. 选择题：每小题5分，满分40分.‎ ‎ 1. C 2. A 3. D 4. A ‎ 5. D 6. B 7. D 8. B 二. 填空题：每小题5分，满分30分.‎ ‎ 9. [0, +¥) 10. 11. ‎ ‎ 12. x2 + (y - 1)2 = 10 13. 14. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）20 - 16 = 4，由，可得x = 48.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设3名A类家政服务员的编号为a，b，c，‎ ‎2名B类家政服务员的编号为1，2，‎ 则所有可能情况有：‎ (a, b)，(a, c)，(a, 1)，(a, 2)，(b, c)，(b, 1)，(b, 2)，(c, 1)，(c, 2)，(1, 2)共10种选择 ‎（ⅱ）该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的情况有：‎ (a, 1)，(a, 2)，(b, 1)，(b, 2)，(c, 1)，(c, 2)，共6种选择.‎ 所以，该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）因为B = 2C，所以有sin Bsin 2C = 2sin Ccos C 从而有 故cos B = cos 2C = 2cos2 C - 1 =.‎ ‎（Ⅱ）由题意，得，由余弦定理得，b2 = a2 + c2 - 2accos B 即，化简得a2 - 6a - 55 = 0，解得a = 11或a = -5（舍）‎ 从而DC = 5，又，则 所以.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）ABCD为平行四边形，连结AC ∩ BD = F，‎ ‎∵F为AC中点，E为PC中点 ‎∴在△PAC中，EF∥PA 又∵PAÌ平面PAD，EFË平面PAD ‎∴EF∥平面PAD ‎（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩ 平面ABCD = AD ‎∵ABCD为正方形 ∴CD⊥AD ‎∵CDÌ平面ABCD ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PA 又∵ ∴△PAD是等腰直角三角形 ‎∴PA⊥PD 又∵CD ∩ PD = D，且CDÌ平面ABCD，PDÌ平面ABCD ‎∴PA⊥平面PCD 又∵PAÌ平面PAB ‎∴平面PAB⊥平面PCD ‎（Ⅲ）直线EF与平面ABCD所成角即直线PA与平面ABCD所成角即ÐPAD 因为ÐPAD = 45°，所以所求角为45°.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）当n = 1时，a1 = 2‎ 当n > 1时，an = Sn - Sn-1 = 2an - 2an-1‎ ‎∴an = 2an-1（n≥2）‎ ‎∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1 = 2 ∴an = 2n 又∵点P(bn, bn+1)（nÎN*）在直线y = x + 2上 ∴bn+1 = bn + 2‎ ‎∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1 = 1 ∴bn = 2n - 1‎ ‎（Ⅱ）∵an·bn = (2n - 1)·2n ‎∴Dn = 1 ´ 21 + 3 ´ 22 + 5 ´ 23 + 7 ´ 24 + ¼ + (2n - 3) ´ 2n-1 + (2n - 1) ´ 2n ‎ 2Dn = 1 ´ 22 + 3 ´ 23 + 5 ´ 24 + 7 ´ 24 + ¼ + (2n - 3) ´ 2n + (2n - 1) ´ 2n+1‎ 两式相减，整理得Dn = (2n - 3)·2n+1 + 6‎ ‎（Ⅲ）‎ T2n = (a1 + a3 + ¼ + a2n-1)(b2 + b4 + ¼ + b2n) ‎19. （本小题满分14分）‎ 解 （Ⅰ）当a = -1时，，‎ ‎∴f ′(1) = 2，f (1) = 2‎ ‎∴f (x)在点(1, f (1))处的切线方程是4x - 2y - 3 = 0.‎ ‎（Ⅱ）f (x)的定义域为(0, +¥) 当，即时，由f ′(x) > 0解得或x > 2.‎ 当时，xÎ(0, +¥)，f ′(x)≥0‎ 当，即时，由f ′(x) > 0解得0 < x < 2或.‎ 综上所述，当时，f (x)的单调递增区间为，(2, +¥)；当时，f (x)的单调递增区间为(0, +¥)；当时，f (x)的单调递增区间为(0, 2)，.‎ ‎（Ⅲ）当a = 0时，由f (x) < 2ex - x - 4知，需证明ex > ln x + 2‎ 令h(x) = ex - ln x - 2（x > 0），则 设（0 < x0 < 1），则h′(x0) = 0‎ ‎∵当xÎ(0, x0)时，h′(x) < 0，h(x)单调递减；当xÎ(x0, +¥)时，h′(x) > 0，h(x)单调递增 ‎∴当x = x0时，h(x)取得唯一的极小值即最小值 h(x)的最小值是 ‎（0 < x0 < 1，） 另解：证明ex - 1≥x≥ln x + 1（等号不能同时成立）‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 解 （Ⅰ）由题意知a = 2b，可设椭圆方程为，‎ ‎∵椭圆过点 ∴，解得a = 2，b = 1‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为y = kx + m（k > 0），A(x1, y1)，B(x2, y2) ‎∵（kAB > 0）‎ ‎∴，化简得km(x1 + x2) + m2 = 0…………①‎ ‎∵A、O、B三点不共线 ‎∴m ¹ 0则k(x1 + x2) + m = 0‎ 将直线AB与椭圆方程联立，消去y，整理得(1 + 4k2)x2 + 8kmx + 4(m2 - 1) = 0‎ ‎∆ = 16(1 + 4k2 - m2) > 0‎ 由韦达定理得，‎ 上述两式代入①，得（k > 0），解得.‎ 于是，x1 + x2 = -2m，x1x2 = 2(m2 - 1).‎ ‎（ⅰ）‎ 所以，.‎ ‎（ⅱ）‎ 易得，‎ 所以，‎ 当且仅当m = ±1时，△AOB取得最大值，此时直线AB方程为.‎