高二数学人教A版选修4-5教案：1-2-1绝对值三角不等式x

高二数学人教A版选修4-5教案：1-2-1绝对值三角不等式x

‎1.2.1绝对值三角不等式 一、教学目标 ‎1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．‎ ‎2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．‎ 四、教学难点 会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 ‎|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.‎ ‎【解析】　∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，‎ 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．‎ 因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　绝对值的几何意义 ‎1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 的点A到 的距离．‎ ‎2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的 ，即线段AB的 教材整理2　绝对值三角不等式 ‎1．定理1　如果a，b是实数，则|a＋b|≤ ，当且仅当 时，等号成立．‎ ‎2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是 ．‎ 教材整理3　三个实数的绝对值不等式 定理2　如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ ＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、运用绝对值不等式求最值与范围 例1对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．‎ ‎【精彩点拨】　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.‎ ‎【自主解答】　法一　对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|‎ ‎≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，‎ 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，‎ 即－2≤x≤－1时取等号．‎ ‎∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.‎ ‎∴实数m的取值范围是(－∞，1]．‎ 法二　t＝|x＋1|＋|x＋2|＝‎ ‎∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.‎ 因此实数m的取值范围是(－∞，1]．‎ 规律总结：‎ ‎1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．‎ ‎2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.‎ 因为f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，‎ 当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 题型二、含绝对值不等式的证明 例2　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.‎ ‎【精彩点拨】　不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．‎ ‎【自主解答】　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.‎ 又|x|>m，‎ ‎∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.‎ 因此≤＋ ‎＝＋<＋＝2，即<2.‎ 规律总结：‎ ‎1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．‎ ‎2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).‎ ‎【证明】　|f(x)－f(a)|‎ ‎＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|‎ ‎＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|‎ ‎＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|‎ ‎＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.‎ 又|x－a|<1，‎ ‎∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|‎ ‎≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1‎ ‎＝2(|a|＋1)．‎ 题型三、绝对值不等式的理解与应用 例3已知a，b∈R，则有 ‎(1)≤1成立的充要条件是________；‎ ‎(2)≥1成立的充要条件是________．‎ ‎【精彩点拨】　利用绝对值三角不等式定理分别求解．‎ ‎【自主解答】　(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔≤1，‎ 因此≤1成立的充要条件是a≠b.‎ ‎(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，‎ 所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔≥1.‎ 因此≥1成立的充要条件是a≠－b.‎ ‎【答案】　(1)a≠b　(2)a≠－b 规律总结：‎ ‎1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．‎ ‎2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．条件不变，试求：‎ ‎(1)＜1成立的充要条件；‎ ‎(2)＞1成立的充要条件．‎ ‎【解】　(1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔＜1，‎ 所以＜1成立的充要条件是ab＜0.‎ ‎(2)因为＞1⇔|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0⇔ab＜0且a≠－b，‎ 所以＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.‎ ‎（四）归纳小结 绝对值三角不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．|a＋b|＞|a－b|‎ B．|a＋b|＜|a－b|‎ C．|a－b|＜||a|－|b||‎ D.|a－b|＜|a|＋|b|‎ ‎【解析】　∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.‎ ‎【答案】　B ‎2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是(　　)‎ A．|a|≥且|b|≥ B．|a＋b|≥1 C．|a|≥1 D.b<－1‎ ‎【解析】　当b<－1时，|b|>1，‎ ‎∴|a|＋|b|>1，‎ 但|a|＋|b|>1b<－1(如a＝2，b＝0)，‎ ‎∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．‎ ‎【答案】　D ‎3．已知四个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2；‎ ‎③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是________．‎ ‎【解析】　当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．‎ 又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．‎ ‎【答案】　①④‎ 六、板书设计 ‎1.2.1绝对值三角不等式 教材整理1　绝对值的几何意义 教材整理2　绝对值三角不等式 教材整理3　三个实数的绝对值不等式 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：1.2.1绝对值三角不等式 八、教学反思