河北省唐山市2020届高三4月六校联考数学（理）试题

河北省唐山市2020届高三4月六校联考数学（理）试题

唐山市 2019—2020 学年度高三 4 月六校联考 理科数学 注意事项：‎ ‎1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合 A = {x | 2 - x ³ 0} ， B = {x Î Z | y = ln(x + 1)} ，则 A I B = A．[-1, 2]‎ ‎B． (-1, 2]‎ ‎C．{0,1, 2} D．{ - 1, 0,1, 2}‎ 2. 设复数 z 满足| z - i |=| z + i | ， i 为虚数单位，且 z 在复平面内对应的点为 Z (x, y) ，则 下列结论一定正确的是 A. x = 1‎ ‎‎ B. y = 1‎ ‎‎ C. x = 0‎ ‎‎ D. y = 0‎ 3. 在△ABC 中， AB = ， BC = 2 ， ÐABC = 135° ，若使该三角形绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）‎ A. 2p B． π C． 3π ‎D． 2π ‎3 2‎ 4. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图 1）做统计，现将其抽象成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 ‎2cm，正方形的边长为 ‎1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是 P，则圆周率π的近似值为（ ）‎ ‎4‎ A. ‎1- p ‎1‎ B. ‎1- p ‎1‎ C. ‎1- 4 p ‎1‎ D． 4(1 - p)‎ ‎0.5‎ 5. 已知‎3a = 4 g 3b-1，c - b = log (2x2 + 4x + 4) ，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ）‎ A. c > b > a ‎B. a > b > c ‎C. b > a > c ‎D. a > c > b 2. 已知圆C : x2 + y2 = 1 ，定点 P ( x0 , y0 )，直线l : x0 x + y0 y = 1 ，则“点 P 在圆C 外”‎ 是“直线l 与圆C 相交”的（‎ ‎）‎ A．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 B．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列{an }的公差不为零，Sn 为其前 n 项和，S3 = 9 ，且 a2 -1，a3 -1 ，a5 -1‎ 构成等比数列，则 S5 =（ ）‎ A． -15 B．15 C．25 D． 30‎ 4. 对于函数y = f (x) ，如果其图象上的任意一点都在平面区域 ‎{(x, y) | ( y + x)( y - x) £ 0} 内，则称函数f (x) 为“蝶型函数”，已知函数：①y = sinx ；‎ x 2 -1‎ ‎②y = ‎，下列结论正确的是( )‎ A． ① 、② 均是“蝶型函数” B． ① 、② 均不是“蝶型函数”‎ C. ‎① 是“蝶型函数”； ② 不是“蝶型函数”‎ D. ‎① 不是“蝶型函数”： ② 是“蝶型函数”‎ ‎9．已知向量 a = (-1, t),b = (2, y) ，其中 y = t2 - 2 + ‎1‎ t2 + 1‎ ‎‎ ‎，则当 y 最小时， cos a,b = A. ‎ 5 5‎ ‎B. - 5 5‎ ‎C． - 2 5‎ ‎5‎ ‎D． 2 5‎ ‎5‎ ‎10 ． 函 数 ‎‎ f (x) = Asin(2x +j)‎ ‎（ j £ p ，‎ ‎2‎ ‎‎ A > 0‎ ‎‎ ‎） 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且 ‎3‎ f (a) = f (b) = 0 ，对不同的 x1 ， x‎2 Î[a,b] ，若 f (x1 ) = f (x2 ) ，有 f (x1 + x2 ) = ，‎ 则（ ）‎ A. f (x) 在(- B. f (x) 在(- ‎‎ ‎5p p ‎, ) 上是减函数 ‎12 12‎ ‎5p p ‎, ) 上是增函数 ‎12 12‎ p 5p C. f (x) 在( , ) 上是增函数 ‎3 6‎ p 5p D. f (x) 在( , ) 上是减函数 ‎3 6‎ F , F ‎x2 y2 F 11. 已知 1 2 分别为椭圆 ‎+ = 1的左、右焦点， M 是椭圆上一点，过点 2 作 ‎16 8‎ ‎3‎ ‎3‎ ÐF1MF2 的角平分线的垂线，垂足为 N ，若| ON |= 2（ O 为坐标原点），则| OM |=（ ）‎ A. ‎ 3 2‎ ‎B. 3 3 C．‎ ‎2‎ ‎D． 2‎ ‎12．已知函数 f (x) 是定义在[-100,100] 的偶函数，且 f (x + 2) = f (x - 2) ．当 x Î[0, 2]‎ 时， f (x) = (x - 2)ex ，若方程[ f (x)]2 - mf (x) +1 = 0 有 300 个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为 è ø A． æ -e - 1 , - 5 ö  ‎B． é-e - 1 , - 5 ù  ‎‎ C． (-¥, -2)‎ ‎D æ -e - 1 , -2 ö ç e 2 ÷ ‎ëê e 2 úû ‎． e ÷ è ø 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．‎ ‎13．(1+ mx)‎6 = a + a x + a x‎2 +L+ a x6 且 a + a ‎+ a + a + a + a ‎= 63 ，则负实数 ‎0 1 2 6‎ m 的值为 ．‎ ‎1 2 3 4 5 6‎ y2‎ 14. 双曲线 a2‎ ‎- x2 b2‎ ‎‎ = 1 (a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± 2x，则其离心率为 ．‎ ‎3‎ ‎6‎ 15. 在△ABC 中，已知 B = p， (CA + CB)× AB = 0 且 S AB × BC + BC ×CA + CA × AB 的值是 ．‎ ‎DABC = ‎，则 AB = ;‎ 16. 已知正方体 ABCD - A1B‎1C1D1 的棱长为 4，点 P 是 AA1 的中点，点 M 在侧面 AA1B1B 内，若 D‎1M ^ CP ，则DBCM 面积的最小值为 ．‎ 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共 60 分．‎ ‎17．（12 分）‎ 已知DABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，设 a cos B - b cos A = c ，‎ ‎5‎ （1） 求 A ;‎ （2） 若 a = ‎， DABC 的面积为 1，求以 a,2b,‎2c 为边的DA1B‎1C1 的面积。‎ ‎18．（12 分）‎ 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，‎ ÐFAC = 600 , 四边形 BCEF 为平行四边形，‎ ‎3‎ AB = BC = 3, AF = 2‎ ‎, BF = ，‎ ‎15‎ （1） 求证：平面 ABC⊥平面 ACDF （2） 求平面 AEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值 ‎19．（12 分）‎ 设 F 为抛物线C : y2 = 2 px 的焦点，A 是C 上一点，FA 的延长线交 y 轴于点 B ，A 为 FB 的中点，且 FB = 3 .‎ （1） 求抛物线C 的方程；‎ （2） 过 F 作两条互相垂直的直线l1 ， l2 ，直线l1 与C 交于 M ， N 两点，直线l2 与C 交于 D ， E 两点，求四边形 MDNE 面积的最小值.‎ ‎20．（12 分）‎ 已知函数 f (x) = k + ‎2 + a ln x ( k, a Î R 且 a > 0 ).‎ x （1） 求 f (x) 在[2, +¥) 上的最小值;‎ （2） 若 a = 1 ,函数 f (x) 恰有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 + x2 > 4 .‎ ‎21．（12 分）‎ 世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期 7 至 10 天，比赛设 27 个大项，参赛规模 约 100 多个国家 8000 余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在武汉举行，赛期 10 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项、329 个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞 5 个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：‎ （1） 估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值 x （同一组中的数据用该组区间的中点值 代表）；‎ （2） 根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩 X 近似地服从正态分布 N (m,s2 )，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50，用样本平均数 x 作为m的 近似值，用样本标准差 s 作为s的估计值，求射击成绩得分 X 恰在 350 到 400 的概率；[参考数据：若随机变量x服从正态分布 N (m,s2 )，则： P (m-s< x≤m+s) » 0.6827 ， P (m- 2s< x≤m+ 2s) » 0.9545 ， P (m- 3s< x≤m+ 3s) » 0.9973 × ；‎ （3） 某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏， 送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控 ‎1‎ 车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是 ，‎ ‎6‎ 方格图上标有第 0 格，第 1 格，第 2 格，……第 50 格．遥控车开始在第 0 格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是 1，2，3，4，5 点，遥控车向前移动一格（从 k 到k +1 ），若抛掷出正面向上的点数是 6 点，遥控车向前移动两格（从 k 到 k + 2 ），直到遥控车移动到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第 n 格的概率为 Pn ，试证明{Pn - Pn-1}(1≤ n ≤ 49) 是 等比数列，并求 P50 ，以及根据 P50 的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．‎ ‎（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）‎ 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 曲线C 的极坐标方程为rcosq= m ，曲线C 的极坐标方程为r2 = 12 ．‎ ‎1 2 3 + sin2 q （1） 求曲线C1 的直角坐标方程和曲线C2 的参数方程；‎ （2） 设曲线C1 与曲线C2 在第二象限的交点为 A ，曲线C1 与 x 轴的交点为 H ，点 M (1, 0) ，求△AMH 的周长l 的最大值．‎ ‎23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）‎ 已知函数 f (x) = 2 | x -1 | +mx ， m Î R ．‎ （1） 当 m = -3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集；‎ （2） 若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．‎ 唐山市2019—2020学年度高三4月六校联考 理科数学参考答案 一．选择题：CDADB BCACB DA 二．填空题：‎ ‎13．-3 14． 15． -10 16．‎ 三．解答题：‎ ‎17．解：‎ ‎ （1）由 结合正弦定理，得,又=所以,因为 ，所以 ,因为 所以 … 5分 ‎（2）依题意， 得 且，设中，内角的对边分别为 ，则==，则 ‎，所以的面积==。 … 12分 ‎ ‎18．‎ ‎（1）证明：设是中点，连结、、，在中，，，‎ 四边形是菱形，，是等边三角形，，‎ 是二面角的平面角,在中，，，‎ ‎，，又，，，平面平面． … 5分 ‎（2）由（1）知、、两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，0，，，，，‎ ‎，0，， ，，，，，， ‎ 四边形是平行四边形，，，‎ ‎，， ‎ ‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，‎ 取，得， ‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，则． ‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． … 12分 ‎ ‎ ‎ ‎19．解：‎ ‎（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为； … 4分 ‎（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．‎ 由，得．‎ ‎△，设，、， ， ‎ 则；同理设，、，，‎ ‎，则． ‎ 四边形的面积． ‎ 当且仅当时，四边形的面积取得最小值32． …12分 ‎20．解：‎ ‎（1）定义域, ‎ ‎ 若即时，在上，单调递增,故在的最小值为; ‎ 若当时,在上，单调递减,在上，单调递增,故在的最小值为 ‎ 综上所述,当时,故在上的最小值为;‎ 当时,在的最小值为 …6分 ‎ （2） 当时,不妨,‎ ‎,,‎ 得,故 ‎ 令,则,, ‎ 所以,故, ‎ 令,‎ 而,所以在上单调递增 ‎ 又,所以,而,故 …12分 21. 解：（1）； …3分 ‎ ‎（2）因为X～N（300，502），‎ 所以； …5分 ‎（3）摇控车开始在第0格为必然事件，P0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为，即；摇控车移到第n格（2≤n≤49）格的情况是下列两种，而且也只有两种；‎ ‎①摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为；‎ ‎②摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为，‎ 故，，故1≤n≤49时，Pn-Pn-1是首项为，公比为的等比数列，故， …9分 Pn＝P0＋（P1-P0）＋（P2-P1）＋…＋（Pn-Pn-1）‎ ‎，‎ ‎，，‎ 故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力． …12分 ‎22．解：‎ ‎（1）将代入，可得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．由可得，‎ 将，代入上式，可得，‎ 整理可得，所以曲线的参数方程为为参数．…5分 ‎（2）由题可设，，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ 所以当，即时，l取得最大值为，‎ 所以的周长的最大值为． …10分 ‎23．解：‎ ‎（1）当时，，由可得，‎ 所以，解得，‎ 所以不等式的解集为． …5分 ‎（2）由题可得，‎ 因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，‎ 所以，解得，当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意. …10分