数学卷·2018届四川省乐山沫若中学高二下学期第一次月考（2017-03）

数学卷·2018届四川省乐山沫若中学高二下学期第一次月考（2017-03）

沫若中学2017年上期第一次月考 ‎（高二数学）‎ ‎2017年3月 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数的导数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4．已知某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能为( )‎ 5． ‎(理)计算（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（文）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则|z|＝（ ）‎ A． B. 1 C. D.‎ ‎6．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎8．（理）函数与相交形成一个闭合图形，则该闭合图形的面积是 (　 )‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎（文）函数f(x)＝x3－3x2－9x＋a在[0,4]上的最大值3,则a= (　　)‎ A．30 B．11 C．3 D.20 ‎ ‎9．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（ ）‎ A．1或2 B．9或3 C．1或1 D．或 ‎10．已知函数的定义域为R，f′(x)为的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x－3)>1的解集为(　　)‎ A．(1，6) B．(－1，5) C．(0，5) D．(3，)‎ ‎11．（理）已知函数，对于任意，都存在，使得，则的最小值为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎（文）已知定义在实数集R上的函数满足，且的导数在R上恒有＜3（x∈R），则不等式的解集为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎12．定义：如果函数在上存在，（），满足 ，，则称数为上的“对望数”，函数为上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C．(2，3) D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a= .‎ 14． 执行右边所示的程序框图，若输入x为12，则输出y的值为 .‎ ‎15．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为 . （图形在下一页）‎ ‎16．已知（e是自然对数的底数）‎ 的图象与的图象有3个不同的交点，‎ 则的取值范围是__________‎ ‎ (15题图) ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（10分）已知复数，当实数分别取何值时，‎ ‎（1）是实数？‎ ‎（2）对应的点位于复平面的第一象限内？‎ 18． ‎（12分）设函数，是的导函数，且和分别是的两个极值点．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围. ‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.‎ ‎（1）求证：PC⊥BC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离．‎ ‎20．（12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在区间（1，2）上不具有单调性，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）（理）如图，在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直， ，且，‎ ‎，为的中点，为上一点，．‎ ‎（1）证明：平面 ；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的长度．‎ ‎（文）如图，在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直， ，且，，为的中点，为上一点， ．‎ ‎(1)若三棱锥的体积为，求的长；‎ ‎(2)证明：平面．‎ ‎22.（12分）已知函数（是自然对数的底数）。‎ ‎（1）若的图象与轴相切，求实数的值； ‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）求证：对任意正整数，都有.‎ ‎沫若中学2017年上期第一次月考（高二数学）‎ 一、 选择题 理科：1—5 ACBAC 6—10 ACCDA 11—12 DB 文科：1—5 ACBAD 6—10 ACCDA 11—12 DB 二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 10 15、 16、‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17 ‎ ‎18、解：（Ⅰ）（），　　　　　　………………………2分 ‎ 由题意可得：和分别是的两根，‎ ‎ 即，，解出，．‎ ‎ ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　……………………… 6分 ‎（Ⅱ）由上得（），　　　　……………………… 8分 ‎ 由．‎ ‎ 故的单调递减区间为，　　　　　　　　　　　　　　……………………… 9分 解得：的取值范围：． 　　　　　　　　　　　　　…………………………12分 ‎19．解:(1)∵PD⊥平面ABCD，‎ BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.‎ 由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.‎ 又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.‎ ‎∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC.‎ ‎(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h，‎ ‎∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°.‎ 从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1，‎ 由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PD＝.‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1.‎ ‎∴PC＝＝.‎ 由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝，‎ 由V＝S△PBC·h＝··h＝，得h＝.‎ 因此，点A到平面PBC的距离为.‎ ‎20.解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=alnx+•x2﹣（1+a）x 的定义域为（0，+∞），f′（x）=+x﹣（1+2）=‎ 令f′（x）=0，求得x=1，或 x=2．‎ 在（0，1）、（2， +∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．（6分）‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上不具有单调性，则f′（x）=+x﹣1﹣a=0在（1，2）上有实数根，且在此根的两侧附近，f′（x）异号．‎ 由f′（x）=0求得x=1或x=a，‎ ‎∴1＜a＜2，故a的取值范围为（1，2）．（12分）‎ ‎21文 ‎21‎ ‎22‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由，得，设切点为，‎ 则即 解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………2分 ‎（Ⅱ）解：‎ ‎（1）当时，恒成立. 　　　　　　　　　　　　　………………3分 ‎（2）当时，由得：‎ 当时，当时，‎ 所以的极小值即最小值为 ‎　　　　　　　　　………………6分 综上得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得：当时，恒成立，即，　　　　………………9分 ‎　　　，令得　　　　　　　………………11分 所以 ‎　　　　　　　　　………………13分 即，‎ 所以.　　　　　　　　　　　　　　　………………14分