数学文卷·2018届北京市人大附中高三2月内部特供卷（二）（2018

数学文卷·2018届北京市人大附中高三2月内部特供卷（二）（2018

‎2018届高三2月份内部特供卷 高三文科数学（二）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如图为几何体的三视图，则其体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．若，，且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）‎ A．3 B．1 C．1或3 D．无解 ‎5． 设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．为双曲线右焦点，，为双曲线上的点，四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．已知变量满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）‎ A．5 B．7 C．8 D．9‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点，，，在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知，则 ．‎ ‎14．从圆内任意一点，则到直线的距离小于的概率为 ．‎ ‎15．已知函数满足且的导数，则不等式 的解集为 ．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知是首项为1的等比数列，数列满足，，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图（图1）．‎ ‎（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；‎ ‎（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？‎ ‎19．在如图所示的多面体中，已知，，是正三角形，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求到平面的距离．‎ ‎20．已知椭圆过，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，点坐标为，求直线，的斜率之和．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求的值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．‎ ‎（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018届高三2月份内部特供卷 高三文科数学（二）答 案 一、选择题 ‎1．【答案】【答案】D ‎【解析】几何体形状如图所示：是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体，所以选D．‎ ‎2．【答案】A ‎3．【答案】C ‎4．【答案】C ‎【解析】由余弦定理得，即，所以或3．选C．‎ ‎5．B ‎6．【答案】D ‎【解析】由为偶函数，所以，又在单调递增，所以，即．选D．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】设，，．∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴．选B．‎ ‎8．【答案】B ‎9．【答案】C ‎10．【答案】A ‎【解析】函数不是偶函数，可以排除C,D，又令得极值点为，，所以排除B，选A．‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】由题意得，故，，‎ 由，得，‎ 由得，‎ 即，，由，得，‎ 故当，时最大，即，故选A．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】如图所示，设AC的中点为M，由已知AB⊥BC，所以底面三角形ABC外接圆的圆心为M，所以OM⊥平面ABC,又OM//DC,所以DC⊥平面ABC，由四面体的体积为，得DC=2，所以DA=4，球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π．选D．‎ 二、填空题 ‎13．【答案】2‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】如图所示，满足条件的点P构成阴影部分区域，由一个直角边为2的等腰直角三角形和两个圆心角为45°的扇形组成．这是一个几何概型，不难求得P到直线x+y=1的距离小于的概率为．‎ ‎15．【答案】{x|x>1或x<－1}‎ ‎【解析】令，则，，所以g(x)在上为减函数，不等式等价于g(x2)<0,则x2>1,得x>1或x<－1．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】由题意：圆被直线截得的弦长为，设圆的半径为则，，在中，，得，，而，所以，得，，又由于在抛物线上，则，解得：，∴．‎ 三、解答题 ‎17．【答案】解：（1）把代入已知等式得，‎ 所以，‎ 所以是首项为1，公比为3的等比数列，即．‎ ‎（2）由已知得，‎ 所以是首项为2，公差为3的等差数列，‎ 其通项公式为，．‎ ‎18．【答案】解（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，‎ 设后四组的频数构成的等差数列的公差为d，‎ 则，解得d=3，‎ 所以后四组频数依次为，，，，‎ 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，‎ 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×＝820(人)‎ ‎（2），‎ 因此能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．‎ ‎19．【答案】解：（1）取的中点，连接，因为为的中点，‎ 所以，又AB,‎ 所以，所以四边形为平行四边形，‎ 所以MB//AF，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为是正三角形，所以,‎ 在中，，，，‎ 所以，故，‎ ‎∴，又DE⊥AD,AC∩AD=A，‎ ‎∴DE⊥平面ACD ‎∴DE⊥AF,又AF⊥CD，由（1）得BM∥AF ‎∴DE⊥BM,BM⊥CD，DE∩CD=D ‎∴BM⊥平面CDE，BM平面BCE ‎∴平面BCE⊥平面CDE ‎（3）连接DM，由于DE=DC ‎∴DM⊥CE 由（2）知，平面BCE⊥平面CDE，‎ ‎∴DM⊥平面BCE，‎ 所以DM为D到平面BCE的距离，DM=，‎ 所以D到平面BCE的距离为．‎ ‎20．【答案】（1）解：由已知得，，，‎ 解之得，a=2，b=，c=1，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设，，由(1)得，当直线斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立得消去得， ‎ 所以，，‎ 所以 ‎，‎ 当直线斜率不存在时，，，，‎ 所以，的斜率之和为2．‎ ‎21．【答案】解：（1）函数的定义域为，，‎ 由得，，‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递减，在单调递增 ‎（2）由（1）得在时有极小值，也就是最小值．‎ 所以，即也就是，‎ 设，，‎ 由得，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以在单调递增，在单调递减．‎ 所以的最大值为．‎ 所以，又，所以，即．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎【答案】解：（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）射线与曲线的交点的极径为，‎ 射线与曲线的交点的极径满足，‎ 解得，所以．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎【答案】解：（1）由，可得，‎ 所以，‎ 由题意得，‎ 所以．‎ ‎（2）若恒成立，则有恒成立，‎ 因为，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以．‎