数学文卷·2017届河北省涞水波峰中学高三上学期12月模拟考试（二）（2016

数学文卷·2017届河北省涞水波峰中学高三上学期12月模拟考试（二）（2016

波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷（二）‎ 高三数学试题（文科）‎ 命题人：张彦东 审题人:高三数学组 2016.12.‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=（　　）‎ A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}‎ ‎2．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z=1+i，则=（　　）‎ A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i ‎3．设x∈R，则“1＜x＜‎2”‎是“|x﹣2|＜‎1”‎的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值（　　）‎ A．1 B．‎3 ‎C．4 D．8‎ ‎6．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+‎2a=0平行，则l1与l2间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知数列{an}满足： •…=（n∈N*），则a10=（　　）‎ A．e26 B．e‎29 ‎C．e32 D．e35‎ ‎11．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=b+aln（x﹣1），存在实数a（a≥1），使y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围为（　　）‎ A．[1，+∞） B．[1，） C．[） D．（﹣）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．‎ ‎13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}中，a2+a7=6，则‎3a4+a6=　　．‎ ‎15．已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于　　．‎ ‎16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：‎ ‎①该方程没有小于0的实数解；‎ ‎②该方程有无数个实数解；‎ ‎③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；‎ ‎④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．‎ 则正确命题是　　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎(17）（本小题满分10分）‎ 已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有成立．‎ ‎（1）记，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 是否需要志愿 性别 男 ‎ 女 ‎ 需要 ‎40 ‎ ‎30 ‎ 不需要 ‎160 ‎ ‎270 ‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．‎ P（k2＞k） ‎ ‎0.0 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ k ‎ ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ ‎19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC． （1）求角C的大小； （2）求√3sinA-cos（B+π/4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．‎ ‎20．已知是一几何体的直观图和三视图如图．‎ ‎（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；‎ ‎（2）求此几何体BEC﹣APD的体积．‎ ‎21.已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎22. 设函数f(x)=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线对称，且f′(1)=0． (1)求实数a、b的值； (2)若函数f(x)恰有三个零点，求实数m的取值范围．‎ 波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷（二）‎ 高三数学试题文科答案 ‎1、【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．‎ ‎【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，‎ 又∵∁UB={4，5，6}，‎ ‎∴B={1，2，3}，‎ ‎∵A={1，2，5}，‎ ‎∴A∩B={1，2}，‎ 故选：A．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵z=1+i，‎ ‎∴=．‎ 故选：A．‎ ‎3、【考点】充要条件．‎ ‎【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜‎2”‎，根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：∵|x﹣2|＜1，‎ ‎∴1＜x＜3，‎ ‎∵“1＜x＜‎‎2”‎ ‎∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜‎2”‎是“|x﹣2|＜‎1”‎的充分不必要条件．‎ 故选：A ‎4．【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=‎4a，即9（c2﹣a2）=‎16a2，‎ 解得=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，数形结合求得目标函数z=2x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：由变量x，y满足约束条件，可得可行域为如图所示的图形 为三角形ABO及其内部区域，‎ 故当直线y=﹣2x+z 经过点B（1，1）时，z=2x+y取得最大值为3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6． 【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．‎ ‎【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；‎ 该程序运行后输出的是计算 S=++=．‎ 故选：D．‎ ‎7．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．‎ ‎【解答】解：由l1∥l2得： =≠，‎ 解得：a=﹣1，‎ ‎∴l1与l2间的距离d==，故选：B．‎ ‎8． 【考点】几何概型．‎ ‎【分析】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的，P点应位于图中DE的下方，然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案 ‎【解答】解：记事件A={△PBC的面积超过}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）‎ 事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE∥BC并且AD：AB=3：4），‎ 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的（）2=，‎ 所以P（A）=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由题意可得a≥恒成立，利用基本不等式求得的最大值为，从而求得实数a的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可得a≥恒成立．‎ 由于=≤（当且仅当x=1时，取等号），故 的最大值为，‎ ‎∴a≥，即a得最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎10．【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用作差法求出lnan=（3n+2），n≥2，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵•…=（n∈N*），‎ ‎∴当n≥2时， •…==，‎ 两式作商得=÷=，‎ 则lnan=（3n+2），n≥2，‎ 则lna10=3×10+2=32，‎ 则a10=e32，故选：C ‎　‎ ‎11． 【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可．‎ ‎【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D﹣BD‎1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，‎ 所以面积S=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）﹣g（x）＞0或f（x）﹣g（x）＜0恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，‎ 则等价为f（x）﹣g（x）＞0或f（x）﹣g（x）＜0恒成立，‎ 即x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＞0或，x2﹣ax﹣b﹣aln（x﹣1）＜0恒成立，‎ 即x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＞b或x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＜b恒成立，‎ 设h（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1），则函数h（x）的定义域为（1，+∞），‎ 函数的导数h′（x）=2x﹣a﹣=，‎ 当a≥1时，≥，‎ 故x∈（1，）时，h′（x）＜0，‎ x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，‎ 即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（）=，‎ 设G（a）=h（）=，‎ 则G（a）在[1，+∞）上为减函数，‎ ‎∴G（a）的最大值为G（1）=，‎ 故h（x）的最小值h（）≤，‎ 则若x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＞b，‎ 则b＜，若x2﹣ax﹣aln（x﹣1）＜b恒成立，则不成立，‎ 综上b＜，故选：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．‎ ‎13．【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．‎ ‎【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25．‎ ‎14【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先根据已知条件求得a1和d的关系，进代入‎3a4+a6即可．‎ ‎【解答】解：a2+a7=‎2a1+7d=6，‎ ‎∴‎3a4+a6=‎4a1+14d=2×6=12，‎ 故答案为：12．‎ ‎15．【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】求出球半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．‎ ‎【解答】解：∵球O的表面积为25π=4πR2，‎ ‎∴球O的半径R=2.5，‎ 设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，‎ 由题意可知a2+b2+c2=52=25，长方体的表面积为：2ab+‎2ac+2bc≤‎2a2+2b2+‎2c2=50；‎ 当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．‎ 故答案为：50．‎ ‎16．【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，‎ 分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．‎ ‎【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，‎ 则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，‎ 此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；‎ 对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，‎ 当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1‎ 且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，‎ 因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点 因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；‎ 对于③，当x＜0时，‎ 由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点 当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，‎ 因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；‎ 对于④，由上面的分析知，‎ 当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解 ‎∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点 因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．‎ 故答案为：②③④‎ ‎17．解：（1）在中令得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数，都有成立，所以，‎ 两式相减得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又，所以数列为等比数列，所以，所以．．．．．5分 ‎（2），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以．．．．．．．．．．．10分 ‎18. 解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助， ∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%． （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=9.967． ∵9.967＞6.635， ∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． （3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．‎ ‎20.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明PD⊥AF，CD⊥DA，CD⊥PA，即可证明CD⊥面ADP，推出CD⊥AF．证明AF⊥面PCD． ‎ ‎（2）几何体的体积转化为两个三棱锥的体积，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，‎ ‎∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF，又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，‎ ‎∴CD⊥面ADP，∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD． ‎ ‎（2）易知PA⊥面ABCD，CB⊥面ABEP，故此几何体的体积为=．‎ ‎21.【解析】⑴由已知，，又，‎ ‎ 解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎⑵方法一：‎ 设椭圆上一点，则.‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 直线：,令，得.‎ ‎∴‎ 将代入上式得 故为定值.‎ 方法二：‎ 设椭圆 上一点，‎ 直线PA:,令，得.‎ ‎∴‎ 直线:,令，得.‎ ‎∴‎ 故为定值.‎ ‎22. 解：（1）由f（x）=2x3+ax2+bx+m， 得：f'（x）=6x2+2ax+b 则其对称轴为 ‎， 因为函数y=f′（x）的图象关于直线对称， 所以，，所以a=3 则f′（x）=6x2+6x+b， 又由f'（1）=0可得，b=-12． （2）由（1）得：f（x）=2x3+3x2-12x+m 所以，f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2） 当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∝）时，f′（x）＞0． 故函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是增函数，在（-2，1）上是减函数， 所以，函数f（x）的极大值为f（-2）=20+m，极小值为f（1）=m-7． 而函数f（x）恰有三个零点，故必有，解得：-20＜m＜7． 所以，使函数f（x）恰有三个零点的实数m的取值范围是（-20，7）． ‎ 高三数学试题试题答题纸 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.‎ ‎22.‎