数学（理）卷·2017届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三12月月考（2016

数学（理）卷·2017届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三12月月考（2016

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）‎ A．－1 B．‎1 C．－2 D．2‎ ‎2. 已知集合，，若，则的子集个数为（ ）‎ A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ ‎3. 在中，分别是三等分点，且，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）‎ ‎5.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题：‎ ‎①若，且，则 ‎②若，且，则 ‎③若，且，则 ‎④若，且，则 其中正确命题的个数是（ ）‎ A．4 B．‎3 C. 2 D．1‎ ‎8. 设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（ ）‎ A．18 B．‎50 C. 78 D．306‎ ‎10. 已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11. 观察下列各式：‎ ‎…‎ 照此规律，当时， ．‎ ‎12.已知中，分别为内角的对边，且，则 ．‎ ‎13.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为 ．‎ ‎14.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有 种．（用数字作答）‎ ‎15.已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知函数在处取得最值，其中.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 如图所示几何体中，四边形和四边形是全等的等腰梯形，且平面⊥‎ 平面，，为线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角（钝角）的余弦值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表,规定：三级为合格等级，为不合格等级.‎ 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.‎ ‎（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率； ‎ ‎（Ⅲ）在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若动直线交椭圆于不同两点，设，为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若是极大值点.‎ ‎（ⅰ）当时，求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）当为定值时，设是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBABB 6-10: ACDCD ‎ 二、填空题 ‎11. 12. 13. 14. 15. ‎ 三、解答题 ‎16.解：（Ⅰ）‎ ‎∵在处取得最值，∴，‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到 再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到 故 可解：‎ 因为为锐角，所以 因此 故 ‎.‎ ‎17. 证明：（Ⅰ）连接，∵为中点，，‎ ‎∴，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵,∴，‎ 又∵，∴为等边三角形，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴四边形是菱形，∴，‎ ‎∴,‎ 又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）连结，∵梯形和梯形全等，，‎ 同理得，又由（Ⅰ）得平面，∴，‎ ‎∴以为坐标原点，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，设，则，‎ 可得，‎ 则 设平面的法向量为，则得 令，则，故取平面的一个法向量，.‎ 同理可求平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 又因为二面角为钝角，故其余弦值为.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）∵，①‎ ‎，②‎ ‎①－②得：‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ 又由得，即，∴（舍去）.‎ ‎∴，‎ ‎∴是以1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴.‎ 又∵③‎ ‎④‎ 得：‎ 又由，可求，‎ 故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎，⑤‎ ‎，⑥‎ ‎⑥－⑤得：，‎ 由，∴‎ ‎∴‎ ‎19. 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量 ‎（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，‎ 设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，‎ 则；‎ ‎（Ⅲ）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故 的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎20. 解：（Ⅰ）由题意知得，即. ①‎ 因为直线过左焦点且倾斜角为30°可得直线方程为 又因为直线与圆相交弦长为1，‎ 所以圆心到直线距离，‎ 再由勾股定理得：②‎ 由①②联立可知 即椭圆方程为 ‎（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，‎ 所以，‎ 即，③‎ 又因为点在椭圆上，所以，④‎ 把③代入④得：，‎ 所以.‎ ‎（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎，‎ 因为交于不同两点，所以，‎ ‎，即，‎ 由韦达定理得：，‎ 由题意知即，又，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ 代入整理得.⑤‎ 又 点到直线的距离，‎ 所以 ‎，⑥‎ 将⑤代入⑥得，‎ 综上，三角形的面积为定值1.‎ ‎21.解：（Ⅰ）当时，，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 令，‎ 故有两根，不妨设，‎ 当与有一个为零时，不是的极值点，故与均不为0；‎ 当或时，是函数的极小极点，不合题意；‎ 当时，是函数的极大值.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎（ⅱ），‎ 令，‎ 因此，有两根，不妨设，‎ 又因为为极大值点，‎ 所以的三个极值点分别为，且.‎ 其中，‎ ‎①若，即也即时有：‎ 或，‎ 所以，‎ 或；‎ ‎②若不成等差数列，则需：‎ 或，‎ 当时，，‎ 于是，‎ 即，‎ 故，‎ ‎，‎ 此时，，‎ 同理当时，‎ ‎，.‎ 综上所述：当时，，‎ 当时，，‎ 当时，.‎