数学理卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期期末考试（2017

普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考 理科数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。‎ ‎2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁。‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应位置．）‎ ‎1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}‎ ‎2．复数i（3﹣i）的共轭复数是（　　）‎ A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i ‎3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）‎ A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx ‎6．要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　）‎ A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 ‎7．不等式组，所表示的平面区域的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（　　）‎ A．1 B． C．0 D．﹣‎ ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．96 B． C． D．‎ ‎10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（　　）‎ A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 ‎11．设F1，F2分别为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e=，则双曲线C2的离心率e1为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应题中的横线上．‎ ‎13．已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9=2a52，则q=　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a=　　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为　　．‎ ‎16．下列四个命题：‎ ‎①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为﹣；‎ ‎③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；‎ ‎④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，则△ABC为锐角三角形．‎ 其中正确命题的序号是　　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn ‎（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2n﹣1}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）直线A1F∥平面ADE．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；‎ ‎（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；‎ ‎（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=．‎ ‎（1）求圆C的半径r；‎ ‎（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0‎ ‎（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围 ‎（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围 ‎【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分 ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．‎ ‎（Ⅰ）求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥．‎ 普宁市华侨中学2017届高三级上学期·期末考 理科数学参考答案 ‎1．B． 2．B． 3．D． 4．B . 5．C． 6．B． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B． 11．B． 12．D． ‎ ‎13．． 14． 15．． 16．①③．‎ ‎17.解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，‎ 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1‎ 两式相减得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1‎ 即an+1=ban+2n①（3分）‎ 当b=2时，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1）‎ 又a1﹣1•20=1≠0，所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（6分）‎ ‎（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2n﹣1=2n﹣1，‎ 即an=（n+1）2n﹣1‎ 当b≠2时，由①得 ‎==‎ 因此=‎ 即（10分）‎ 所以．（12分）‎ ‎18. ‎ ‎（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ ‎∴CC1⊥平面ABC，‎ ‎∵AD⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥CC1‎ 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∵AD⊂平面ADE ‎∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分）‎ ‎（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ‎∴A1F⊥B1C1，‎ ‎∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴A1F⊥CC1‎ 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴A1F⊥平面BCC1B1‎ 又∵AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴A1F∥AD ‎∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，‎ ‎∴直线A1F∥平面ADE．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，‎ ‎∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：‎ ‎0.06×50=3（人）．（3分）‎ 由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，‎ ‎∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：‎ ‎800×0.38=304（人）．（6分）‎ ‎（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，‎ ‎∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，‎ ‎∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，‎ ‎∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，‎ 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，‎ 基本事件总数n==12，（9分）‎ 所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，（10分）‎ ‎∴所求概率为p=．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 设P（x，y），∵=，∴=，化为：x2﹣3x+y2+1=0，即=．‎ 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），‎ ‎∵圆C上有且只有一个点P满足=．‎ ‎∴上述两个圆外切，‎ ‎∴=r+，解得r=．（4分）‎ ‎（2）直线A2B2方程为：，化为=．‎ 设直线B1Q：y=kx﹣1，‎ 由圆心到直线的距离≤，可得：k∈．‎ 联立，解得E．（6分）‎ 联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分）‎ ‎∴|DB1|==．‎ ‎|EB1|==，‎ ‎∴===|1+|，（9分）‎ 令f（k）=，f′（k）=≤0，‎ 因此函数f（k）在k∈上单调递减．（10分）‎ ‎∴k=时， =|1+|=取得最大值．（12分）‎ ‎21. ‎ ‎（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，‎ ‎∴f′（x）=﹣x2+2x+3，‎ 故k=f′（3）=0，‎ 又∵f（3）=9，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（3分）‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，‎ 即存在某个子区间（a，b）⊂（， +∞）使得f′（x）＞0，‎ ‎∴只需f′（）＞0即可，‎ f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，‎ 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，‎ 由于m＞0，∴m＞．（6分）‎ ‎（Ⅲ）由题设可得，‎ ‎∴方程有两个相异的实根x1，x2，‎ 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或，（8分）‎ ‎∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，‎ 若 x1≤1＜x2，‎ 则，‎ 而f（x1）=0，不合题意．‎ 若1＜x1＜x2，对任意的x∈，‎ 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，‎ 则，‎ 又f（x1）=0，所以 f（x）在上的最小值为0，‎ 于是对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，‎ 解得； （10分）‎ 综上，m的取值范围是．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，‎ ‎∴t=x﹣3，∴y=，‎ 整理得直线l的普通方程为=0，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为：．（5分）‎ ‎（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．‎ ‎∵点P在直线l： =0上，设P（3+t，），‎ 则|PC|==，‎ ‎∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．（5分）‎ ‎23.‎ ‎（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，‎ ‎∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．‎ ‎∵m∈N*，∴m=1．（5分）‎ ‎（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，‎ ‎∴α+β=2．‎ ‎∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．（10分）‎