2012高考真题分类汇编：数列

2012高考真题分类汇编：数列

‎2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 ‎1、【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎2、【2012高考真题重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎3、【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎5、【2012高考真题四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎6、【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎7、【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎8、【2012高考真题上海理18】设，，在中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎9、【2012高考真题浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎10、【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 二、填空题 ‎11、【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。‎ ‎12、【2012高考真题浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2，S4=‎3a4+2，则q=______________。‎ ‎ ‎ ‎13、【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）‎ ‎14、【2012高考真题新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎15、【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎16、【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。‎ ‎17、【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎18、【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.‎ ‎19、【2012高考真题重庆理12】 .‎ ‎20、【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎21、【2012高考真题四川理22】‎ ‎ 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。‎ ‎22、【2012高考真题山东理20】‎ 在等差数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎23、【2012高考真题湖南理19】‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ ‎（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ ‎（2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎24、【2012高考真题天津理18】‎ 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，证明（）.‎ ‎25、【2012高考真题安徽理21】‎ ‎ 数列满足：‎ ‎（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；‎ ‎（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎26、【2012高考真题江西理17】‎ 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎ ‎ ‎27、【2012高考真题重庆理21】‎ ‎ 设数列的前项和满足，其中.‎ ‎ （I）求证：是首项为1的等比数列；‎ ‎（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.‎ ‎28、【2012高考真题广东理19】‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ ‎（4） 求a1的值；‎ ‎（5） 求数列{an}的通项公式．‎ ‎（6） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎29、【2012高考真题四川理20】已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。‎ ‎30、【2012高考真题陕西理17】‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列。‎ ‎ ‎ ‎31、【2012高考真题广东理19】‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ ‎（1） 求a1的值；‎ ‎（2） 求数列{an}的通项公式．‎ ‎（3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎32、【2012高考真题湖北理18】‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎33、【2012高考江苏20】已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎34、【2012高考真题全国卷理22】‎ 函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn 与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；‎ ‎（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.‎ ‎35、【2012高考真题上海理23】对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质．‎ ‎（1）若，且具有性质，求的值；‎ ‎（2）若具有性质，求证：，且当时，；‎ ‎（3）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎2、 B ‎3、 B ‎4、 C ‎5、 D ‎6、 B ‎7、 D ‎8、 D ‎9、 C ‎10、 A 二、填空题 ‎11、 。‎ ‎12、 ‎ ‎13、 ①③④‎ ‎14、 1830‎ ‎15、 ‎ ‎16、 35‎ ‎17、 ，‎ ‎18、 3018‎ ‎19、 ‎ ‎20、 ‎ 三、解答题 ‎21、 ‎ ‎22、 ‎ ‎23、 【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则 ‎　　　，‎ 于是得即 ‎　　　‎ 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎24、 ‎ ‎25、 【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。‎ ‎【解析】（I）必要条件 当时，数列是单调递减数列。‎ 充分条件 数列是单调递减数列，‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。‎ ‎（II）由（I）得：，‎ ①当时，，不合题意；‎ ②当时，，‎ ‎，‎ ‎。‎ 当时，与同号，‎ 由，‎ ‎。‎ 当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾，‎ 得：当时，数列是单调递增数列。‎ ‎26、 ‎ ‎【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.‎ ‎27、 ‎ ‎28、 ‎ ‎29、 ‎ ‎30、 ‎ ‎31、 ‎ ‎32、 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎33、解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎34、 ‎ ‎35、‎