数学（理）卷·2019届安徽省淮南二中高二上学期期中考试（2017-11）

数学（理）卷·2019届安徽省淮南二中高二上学期期中考试（2017-11）

淮南二中 2019 届高二上期中数学（理） 命题人：数学命题组 一、选择题（每题 5 分，共 12 题） 1.椭圆 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2.已知直线 ，平面 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在直角坐标系中，方程 的曲线是（ ） A B C D 4.将图 1 所示正方体截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. 5.椭圆 和 有（ ） A.相等的焦距 B.等长的长轴 C.相等的离心率 D.等长的短轴 6.有关下列命题，其中说法错误的是（ ） 2 2 125 169 x y+ = ( 5,0)± (0, 5)± (0, 12)± ( 12,0)± ,a b ,α β a α⊥ b β⊂ a b⊥ / /α β | | 1x y⋅ = 2 2 1 : 116 9 x yC + = 2 2 2 : 1(0 9)9 16 x yC kk k + = < <− − A.命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ” B.“ ”是“ ”的必要不充分条件 C.若 是假命题，则 ， 都是假命题 D.命题“若 且 ，则 ”的等价命题是“若 ，则 或 ” 7.已知直线 过椭圆 短轴的一个顶点，则离心率为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， 则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9.中心为 ，一个焦点为 的椭圆，截直线 所得弦中点的横坐标为 ， 则该椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 10.在体积为 的三棱锥 中， ， ， ，且平面 平面 ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 11.设 分别为椭圆 的左右顶点，若在椭圆上存在点 ，使 得 ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.如图，正方体 的棱长为 1， 为 的中点，则下列五个命题： 2 3 4 0x x− − = 4x = 2 3 4 0x x− − ≠ 4x ≠ 0x > 5x > p q∧ p q 1x > 3y < − 4x y− > 4x y− ≤ 1x ≤ 3y ≥ − y x c= + 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 3 2 2 1 2 2 4 1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1 1C D 1CC AE BF 2 5 5 5 5 6 5 5 6 18 (0,0) (0,5 2)F 3 2y x= − 1 2 2 22 2 175 25 x y+ = 2 2 175 25 x y+ = 2 2 125 75 x y+ = 2 22 2 125 75 x y+ = 4 3 S ABC− 2AB BC= = 90ABC∠ = ° SA SC= SAC ⊥ ABC 8 2 3 π 9 2 π 27 2 π 12π 1 2,A A 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P 1 2 1 2PA PAk k > − 1(0, )2 2(0, )2 1( ,1)2 2( ,1)2 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1A B ①点 到平面 的距离为 ； ②在空间与 ， ， 都相交的直线有无数条； ③空间四边形 在正方体六个面内的射影围成的图形中，面 积最小的值为 ； ④过 的中点与直线 所成角为 并且与平面 所成角为 的直线有 3 条。 其中真命题个数（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每题 5 分，共 4 题） 13.命题 ，使得 ，写出命题 的否定. 14.焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 的值为. 15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 ， ，线段 ， 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于交线 ， ， ， ， ，则这个二面角的度数为. 16.已知 ， .若对于所有的 ，均 有 ，则 的取值范围是. 三、解答题（17 题 10 分，18-22 题 12 分） 17.已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：点 在椭 圆 的外部.若 为真，求 的取值范围. 18.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点 ，且过点 为其右焦点. E 1 1ABC D 1 2 1DD AC 1 1B C 1ABCD 1 2 1CC 1BC 40° 1 1BB D 50° 0:p x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p y 2 2 12 x y m + = 1 2 m A B AC BD AB 4AB = 6AC = 8BD = 2 17CD = 2 2{( , ) | 2 3}M x y x y= + = {( , ) | }N x y y mx b= = + m R∈ M N∩ ≠ ∅ b p 2 2 13 2 3 x y a a + =− + y q ( ,1)P a 2 2 12 3 x y+ = ( )p q∧ ¬ a (2,3)A (2,0)F （1）求椭圆的标准方程；（2） 是（1）中所求椭圆上的动点，求 中点 的轨迹方程. 19.如图组合体中，三棱柱 的侧面 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截 圆柱所得的截面）， 是圆柱底面圆周上不与 ， 重合的一个点. （1）求证：无论点 如何运动，平面 平面 ； （2）当点 是弧 的中点时，求四棱锥 与圆柱的 体积比. 20.设 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点， （1）若 的周长为 16，求 ； （2）若 ，求椭圆 的离心率. 21. 已知多面体 如图所示，其中 为矩形， 为 等腰直角三角形， ，四边形 为梯形，且 ， ， . （1）若 为线段 的中点，求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的 P PF Q 1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A C A B C 1A BC ⊥ 1A AC C AB 1 1 1A BCC B− 1 2,F F E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F E A B 1 1| | 3| |AF BF= 2| | 4,AB ABF= ∆ 2| |AF 2 3cos 5AF B∠ = E ABCDEF ABCD DAE∆ DA AE⊥ AEFB / /AE BF 90ABF∠ = ° 2 2AB BF AE= = = G DF / /EG ABCD DF N BN FCD 余弦值等于 ？若存在，请指出点 的位置；若不存在，请说明理由. 22.如图，已知离心率为 的椭圆 ： 过点 ， 为坐标原 点，平行于 的直线 交椭圆 与不同的两点 ， . （1）求椭圆 的方程. （2）证明：直线 斜率之和为定值. 21 5 N 3 2 C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (2,1)M O OM l C A B C ,MA MB 答案 选择题： 1-5 CBCBA 6-10 CBACA 11-12 DC 填空题 13. 14. 15. 16. 解答题 17. 18.(1) 依题意，可设椭圆 的方程为 ， 且 可 知 左 焦 点 为 ， 从 而 有 ， 解 得 ， 又 ，所以 ，故椭圆 的方程为 ． （2）设 ∵ 为 的中点 ∴ 由 是 上的动点 ∴ ， 2, 1 0x R x x∀ ∈ + + ≥ 3 2 60° 6 6[ , ]2 2 − 2 30 3a< ≤ C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2,0F′ − 2 2 3 5 8 c a AF AF =  ′= + = + = 2 4 c a =  = 2 2 2a b c= + 2 12b = C 2 2 116 12 x y+ = 0 0( , ), ( , )P x y Q x y Q PF 0 0 00 2 2 22 2 2 xx x x y yyy + = = − ⇒  = = P 2 2 116 12 x y+ = 2 2(2 2) 4 116 12 x y− + = 即 点的轨迹方程是 19.（1）由条件， 为底面圆的直径， 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点， 所以 ，又圆柱母线 平面 ，则 ， 点， 所以 平面 ，从而平面 平面 ； （2）设圆柱的母线长为 ，底面半径为 ，则圆柱的体积为 ， 当点 是弧 的中点时， 为等腰直角三角形，面积为 ， 三棱锥 的体积为 ， 三棱柱 的体积为 ， 则四棱锥 的体积为 ， 四棱锥 与圆柱的体积比为 ． 20.（本小题满分 13 分） 解：（1）由 ， 得： ， ∵ 的周长为 16，∴由椭圆定义可得 ， . 故 . （2）设 ，则 且 ， 由椭圆定义可得 . 在 中，由余弦定理可得 ， 即 ， 化简可得 ，而 ，故 . 于是由 ， ， 因此 ，可得 ， 故 为等腰直角三角形. C A B 1A BC ⊥ 1A AC Q 2 2( 1) 14 3 x y− + = AB AC BC⊥ 1AA ⊥ ABC 1AA BC⊥ 1A A AC A= BC ⊥ 1AAC h r 2r hπ C AB ABC∆ 2r 1A ABC− 2 21 1 3 3r h r h× × = 1 1 1A B C ABC− 2r h 1 1 1A BCC B− 2 2 21 2 3 3r h r h r h− = 1 1 1A BCC B− 2 3π 1 1| | 3| |AF F B= | | 4AB = 1| | 3AF = 1| | 1F B = 2ABF∆ 4 16a = 1 2| | | | 2 8AF AF a+ = = 2 1| | 2 | | 8 3 5AF a AF= − = − = 1| |F B k= 0k > 1| | 3 ,| | 4AF k AB k= = 2 2| | 2 3 ,| | 2AF a k BF a k= − = − 2ABF∆ 2 2 2 2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cosAB AF BF AF BF AF B= + − ⋅ ∠ 2 2 2 6(4 ) (2 3 ) (2 ) (2 3 ) (2 )5k a k a k a k a k= − + − − − ⋅ − ( )( 3 ) 0a k a k+ − = 0a k+ > 3a k= 2 1| | 3 | |AF k AF= = 2| | 5BF k= 2 2 2 2 2| | | | | |BF AF AB= + 1 2F A F A⊥ 1 2AF F∆ 从而 ，∴椭圆 的离心率 . 21.（2） 与 重合 22.（Ⅰ）解：设椭圆 的方程为： ， 由题意得： ， 解得 ， ， ∴椭圆方程为 ． （Ⅱ）证明：由直线 ，设 ： ， 将式子代入椭圆 得： ， 设 ，则 ， ， 设直线 、 的斜率分别为 ， 则 ， ∵ ， . 2 2c a= E 2 2 ce a = = N D C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 2 3 2 4 1 1 c a a b a b c  =   + =  = +  2 8a = 2 2b = 2 2 18 2 x y+ = / /l OM l 1 2y x π= + C 2 22 2 4 0x mx m+ + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2x x m+ = − 2 1 2 2 4x x m= − MA MB 1 2,k k 1 1 1 2 2 yk x −= − 2 2 2 1 2 yk x −= − 1 2 1 2 1 2 1 11 12 2 2 2 x m x m k k x x + − + − + = +− − 1 2 1 2 1 2 41 2( ) 4 x xm x x x x + −= + ⋅ − + + 2 2 41 02 4 2( 2 ) 4 mm m m − −= + ⋅ =− − − +