数学文卷·2017届云南省师大附中高考适应性月考（八）（2017

数学文卷·2017届云南省师大附中高考适应性月考（八）（2017

云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考（八）‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若全集、集合、集合及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴影表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知，则是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.“附中好声音”歌唱比赛上，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图如图所示，其中为数字0～9中的一个，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手的平均分分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．的大小 ‎4.已知单位向量，且，若，则实数的值为（ ）‎ A． -1 B．0 C. 1 D．0或1‎ ‎5.已知函数在处取得最大值，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 执行下边的语句，结果为（ ）‎ A．3 B．2 C. 1 D．0‎ ‎7. 若偶函数在上单调递减，，，，则满足（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8. 已知正方形的边长是，依次连接正方形的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的平方和是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 两条抛物线，，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎12.对于某个给定的函数，称方程的根为函数的不动点，若二次函数有两个不动点，且，当时，与的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知等差数列中，且前10项的和为，则数列 的公差 ‎ ．‎ ‎14. 下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），混合物的成本最少为 元．‎ ‎15. 从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎16.定义在上的函数满足：①；②当时，.若分别以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，米，从点发出的光线经水平放置于处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点，已知米，米.‎ ‎（1）求光线的入射角（入射光线与法线的夹角）的大小；‎ ‎（2）求点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长.‎ ‎18.‎ ‎ 某地政府为了对房地产市场进行调控决策，统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表（不全）：‎ 已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3:8.‎ ‎（1）补全上述列联表；‎ ‎（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计外来人口的某项收入指标，若一个买房人的指标记为3，一个犹豫人的指标记为2，一个不买房人的指标记为1，现在从这6人中再随机选取3人，求选取的3人的指标之和大于5的概率.‎ ‎19. 如图，矩形（），被截去一角（即），，，平面平面，.‎ ‎（1）求五棱锥的体积的最大值；‎ ‎（2）在（1）的情况下，证明：.‎ ‎20. 已知圆经过变换后得曲线.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若为曲线上两点，为坐标原点，直线的斜率分别为且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）对，，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C D C B B B D B A A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解：（Ⅰ）如图2，‎ 由光的反射定律，，．‎ 在中，根据余弦定理，得．‎ 因为，所以，，‎ 即光线的入射角的大小为. ‎ ‎（Ⅱ）据（Ⅰ），在中，，‎ 所以（米），（米），‎ 即点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米．‎ ‎18．解：（Ⅰ）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为人，人，则 解得 ‎ 买房 不买房 犹豫 总计 外来人口（单位：人）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎30‎ 当地人口（单位：人）‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎80‎ 总计 ‎25‎ ‎20‎ ‎65‎ ‎110‎ ‎（Ⅱ）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人， ‎ 这三类人分别用，N1，N2，D1，D2，D3表示，‎ 从这人中再随机选取人，列出所有选取情况及相应指标之和如下：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 所有选取情况有种，其中指标之和大于的有种， ‎ 所以选取的人的指标之和大于的概率为． ‎ ‎19．（Ⅰ）解：因为，，‎ 所以， ，‎ 所以截去的是等腰直角三角形，‎ 所以．‎ 如图3，‎ 过作，垂足为，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，为五棱锥的高．‎ 在平面内，，在以为焦点，长轴长为的椭圆上，‎ 由椭圆的简单的几何性质知：点为短轴端点时，到的距离最大，‎ 此时，，（指出即可，未说明理由不扣分）‎ 所以，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）证明：连接，如图，据（Ⅰ）知，，故是等腰直角三角形，所以，‎ 所以，即．‎ 由于平面，所以，‎ 而，所以平面，‎ 平面，所以． ‎ ‎20．解：（Ⅰ）将代入得，‎ 化简得，‎ 即为曲线的方程． ‎ ‎（Ⅱ）设，，直线与圆：的交点为．‎ 当直线轴时，，‎ 由得或 此时可求得． ‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 联立消得，‎ ‎，，，‎ 所以， ‎ 由得，，‎ 此时． ‎ 圆：的圆心到直线的距离为，‎ 所以，‎ 得，‎ 所以当时，最大，最大值为，‎ 综上，直线被圆：截得弦长的最大值为，‎ 此时，直线的方程为． ‎ ‎21．解：（Ⅰ）．‎ ‎①若，，在上单调递增；‎ ‎②若，当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增． ‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，即，‎ 即恒成立．‎ 令（），则．‎ 令，则．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 又且时，，，‎ 所以，当时，，即，所以单调递减；‎ 当时，，即，所以单调递增，‎ 所以，所以． ‎ ‎22．【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）曲线是圆心为半径为2的圆，‎ ‎∴射线的极坐标方程为 代入，可得．‎ 又，∴，‎ ‎∴． ‎ ‎23．【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）令 当时，由，得，‎ 当时，由，得，‎ ‎∴不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 又∵，‎ ‎∴（当且仅当时取等），‎ ‎∴． ‎