热点25 排列组合与二项式定理（理）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

热点25 排列组合与二项式定理（理）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

‎2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 热点25 排列组合与二项式定理（理）‎ ‎【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或应用排列组合及两个原理计算解答题中概率或随机变量分布列中概率，对两个计数原理、排列、组合往往通过实际问题综合考查“在”与“不在”问题、相邻问题、相间问题等基本方法，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理主要考查利用通项求展开式的特定项、利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.难度为易或中等，分值为5到12分．‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 分类计数原理与分步计数原理应用 ‎【解决法宝】在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理，对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．‎ 例1【四川自贡普高2017届一诊，6】已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）‎ A．6 B．32 C.33 D．34‎ ‎【分析】先在3个集合中各取1个元素，再将这3个数安排为横坐标、纵坐标、竖坐标，注意5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，即可得出确定的不同点个数.‎ ‎【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为，但集合，中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为：个,故选A.‎ 考向二 排列组合综合应用问题 ‎【解决法宝】解排列、组合的应用题，首先要分析是排列问题还是组合问题，若是与顺序有关是排列问题，若是是顺序无关是组合问题，其次要掌握计算排列组合问题的以下常见方法：(1)元素分析法，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)位置分析法，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)排除法，即先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数；（4）对排列组合综合问题时，一般先取后排，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”，名额分配问题或相同物品分配问题用“隔板法”，定序问题或平均分组问题用“消序法”.‎ 例2【河北衡水中学2017届高三上学期五调，15】在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.‎ ‎【分析】分配方法分为两所医院二人和 两所医院分1 人另一所学校分三人两类，每类先将5名医生分三组再将这三组分给3所医院，注意限定条件.‎ 考向三 二项式定理 ‎【解决法宝】‎ ‎1.利用二项式定理求解的2种常用思路 ‎(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．‎ ‎(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．‎ ‎2．(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点：‎ ‎(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；‎ ‎(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；‎ ‎(3)公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置.‎ 例3【云南大理2017届高三第一次统测，14】的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________．‎ ‎【分析】由所有项的二项式系数之和为256得，，解得的值，利用二项展开式的通项即可求出展开式中项的系数.‎ ‎【解析】由二项式系数的性质可知，所以，展开式的通项公式，令得，所以展开式中项的系数为.‎ ‎【热点集训】‎ ‎1. 【河北唐山市2017届高三年级期末,8】在展开式中， 二项式系数的最大值为 ‎ ‎，含项的系数为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得，，所以，故选D．‎ ‎2.【福建省泉州市2016届高三下学期3月质量检查】的展开式中的系数等于（ ）‎ A.-48 B.48 C.234 D.432‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 所以展开式中的系数为.选B.‎ ‎3.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，6】现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种 A．36 B．9 C．18 D．15‎ ‎【答案】B ‎4.【河北邯郸2017届9月联考，9】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）‎ A．360种 B．720种 C．780种 D．840种 ‎【答案】.‎ ‎【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.‎ ‎5.【甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考】设是一个正整数，的展开式中第四项的系数为，记函数与的图象所围成的阴影部分为，任取，，则点恰好落在阴影区域内的概率是 （ ）‎ ‎ A． 　 　 B． C． 　　 D． ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎6.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），10】二项式展开式中只有一项的系数为有理数，则的可能取值为（ ）‎ A．6 B．7 C.8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为二项式的展开式的通项公式为，因为该展开式中只有一项的系数为有理数，当A、C中、D中时展开式的系数均为有理数，只有B满足题意，故选B．‎ ‎7. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，9】将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，知当时为有理项，则二项式展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为，无理项互为相邻有，所以所求概率＝，故选A． ‎ ‎8. 【广东2017届高三上学期阶段测评（一），10】若，则的值为（ ）‎ A． B． C.253 D．126‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，得，，∴.选C.‎ ‎9. 【广西柳州市2017届高三10月模拟，7】在的展开式中，含项的系数等于320，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，所以，选A.‎ ‎10.【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）‎ A．36种 B．30种 ‎ C．24种 D．18种 ‎【答案】B ‎11. 【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考，6】的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．-30 C.-10 D．-20‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得展开式中的系数为,选C.‎ ‎ 12.【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，6】已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）‎ A. 72种 B. 78种 C. 48种 D. 84种 ‎【答案】C ‎【解析】方法一： 方法二：a,a,c c,a,a, , a,c,a ，故共有选C.‎ ‎13. 【河南百校联考2017届高三9月质检，7】6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（ ）‎ A．60 B．96 C．48 D．72‎ ‎【答案】C ‎【解析】先把乙和丙，丁和戊看作两个整体，四个人进行排列：,再考虑乙和丙，丁和戊排法得,选C.‎ ‎14.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，10】若二项式的展开式中的常数项为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎15.【2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模】的展开式中，的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.‎ ‎16.【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末】已知 ，则a3=　　．‎ ‎【答案】﹣25‎ ‎【解析】∵（1+x）•（2﹣x）6=•（1﹣x+1）6=•6‎ ‎=，且 ，‎ 故a3=﹣2+=﹣25，故答案为﹣25．‎ ‎17. 【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试，15】若， 记，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，有，所以.‎ ‎18. 【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分两步完成:第一步将名调研员按分成三组,其分发有种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有种,所以不同的分配方案种数种,故填.‎ ‎19.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,14】两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】5名学生要排成一排合影共有种不同的排法，同校学生排在一起共有种不同的排法，所以所求概率为.‎ ‎20.【贵州遵义市2017届高三第一次联考，14】若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】由题意得，因此该展开式中的常数项为 ‎21.【河北衡水中学2017届高三上学期五调，13】若的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎22. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，13】若二项式 展开工的二项式系数之和为64，则含项的系数为 ．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】由题意，得，所以，所以展开式的通项公式为．令，得，所以展开式中含项的系数为．‎ ‎23.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，13】的展开式中项的系数为20，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.‎ ‎24.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，12】 的展开式中的的系数是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，由得，系数是 ‎25.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，14】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．‎ ‎【答案】14.‎ ‎26.【河南百校联考2017届高三9月质检，14】若的展开式中的系数为30，则____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意得，所以 ‎27.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，15】 的展开式中的系数为______________.‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】因为的通项公式为，所以的展开式中含的奇数次方的通项为，令，解得.从而所求的系数为.‎ ‎28.【2017届河北枣强中学高三12月月考】在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ）‎ A．420种 B．260种 C．180种 D．80种 ‎【答案】B ‎【解析】若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，故所有的不同的提问方式的种数是.故选B．‎ ‎29.【2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末】已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，所以,由题意得直线与曲线有四个交点，因为直线过定点 ‎，且过点时，由图:‎ 知实数的取值范围是为 ‎ ‎30.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式展开，当时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：‎ ‎ 第0行 1‎ ‎ 第1行 1 1 1‎ ‎ 第2行 1 2 3 2 1‎ ‎ 第3行 1 3 6 7 6 3 1‎ ‎ 第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1‎ ‎……‎ 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第行共有个数．若在的展开式中，项的系数为75，则实数的值为___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】展开式中系数为1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1，所以在 的展开式中，项的系数为 ‎ ‎