数学卷·2018届河北省定州中学（承智班）高三下学期第一次月考（2018

数学卷·2018届河北省定州中学（承智班）高三下学期第一次月考（2018

高三第二学期承智班班第1次考试数学试题 一、单选题 ‎1．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数， 有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．定义在上的函数满足，且当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A. -1 B. C. D. ‎ ‎5．定义在上的函数满足，当时，，若函数在内恰有个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数，则函数 的零点个数为（ ）个 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎7．设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知在中，角， ， 所对的边分别为， ， ， ，点在线段上，且.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为 (　　)‎ A. 2101 B. 1067‎ C. 1012 D. 2012‎ ‎10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9>0，S10<0，则， ，…， 中最大的是 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11．某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:‎ 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说:“丁团队获得一等奖”；‎ 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎12．若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎14．如图，在四面体中， 平面， 是边长为的等边三角形.若，则四面体外接球的表面积为__________．‎ ‎15．已知首项为2的数列的前项和满足： ，记，当取得最大值时， 的值为__________．‎ ‎16．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．‎ 三、解答题 ‎17．已知…， ．记．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）化简的表达式，并证明：对任意的， 都能被整除．‎ ‎18．设函数．‎ ‎（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）设， 是的导函数．‎ ‎①若对任意的，求证：存在使；‎ ‎②若，求证： ．‎ ‎19．若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．‎ ‎（）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由．‎ ‎②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；‎ ‎（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值．‎ ‎（）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．‎ ‎20．已知函数 ‎（1）求证: ‎ ‎（2）求证: .‎ 参考答案 DCACC CABBB ‎ ‎11．D[]‎ ‎12．D ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．8‎ ‎16．‎ ‎17．(1)30；(2)证明见解析.‎ 由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1）．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎∵‎ ‎∴能被整除．‎ ‎18．(1) ；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.‎ ‎（1）由题意， 对恒成立.‎ ‎∵‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∵‎ ‎∴，从而．‎ ‎（2）①，则．‎ 若，则存在，使，不合题意.‎ ‎∴．‎ 取，则．‎ 此时．‎ ‎∴存在，使．‎ ‎②依题意，不妨设，令，则．‎ 由（1）知函数单调递增，则，从而．‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 下面证明，即证明，只要证明．‎ 设，则在恒成立．‎ ‎∴在单调递减，故，从而得证．‎ ‎∴，即．‎ ‎19．（）见解析．（）．（）见解析.‎ 解析：（）①当时， ，‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ ‎∴数列是“回归数列”．‎ ‎②，前项和，‎ ‎∵为偶数，‎ ‎∴存在，‎ 即，使，‎ ‎∴数列是“回归数列”．‎ ‎（），‎ 对任意，存在，使，‎ 即，‎ 取时，得，解得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）设等差数列的公差为，令，‎ 对， ，‎ 令，则对， ，‎ 则，且数列和是等差数列，‎ 数列的前项和，‎ 令，则，‎ 当时， ；‎ 当时， ．‎ 当时， 与的奇偶性不同，‎ 故为非负偶数，‎ ‎∴，‎ ‎∴对，都可找到，使成立，‎ 即为“回归数列”．‎ 数列的前项和，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∵对， 为非负偶数，‎ ‎∴，‎ ‎∴对，都可找到，使得成立，‎ 即为“回归数列”，‎ 故命题得证．‎ ‎20．（1）见解析；（2）见解析 ‎（1）由题意知: 的定义域为.‎ 因为所以和的变化情况如下表所示:‎ 极小值 由表可知: .‎ 所以 ‎（2）由（Ⅰ）可知: 即 所以可得 将上述个式子相加可得:‎ ‎ ‎ 所以结论得证.即.‎