陕西省西安市西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

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陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学 ‎（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A中不等式解集的整数解，即可确定出两集合的交集．‎ ‎【详解】∵A＝{x|（x+1）（x-2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}且集合B的元素是整数，则﹣1＜x＜2的整数解为：0，1‎ ‎∴A∩B＝{0，1}．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，以及不等式解集的整数解，是基本题型．‎ ‎2.命题“对任意都有”的否定是（ ）‎ A. 对任意，都有 B. 不存，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意都有”的否定是：存在，使得．故D正确．‎ 考点：全程命题.‎ ‎3.在等差数列中，，则（ ）‎ A. 20 B. ‎22 ‎C. 18 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式，求得a1，d，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a2=4，a3=6，所以a1+d=4，a1+2d=6，‎ 解得a1=d=2，则a10=2+2×9=20．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，准确运算是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案．‎ ‎【详解】A项不是偶函数；B项不是偶函数；C项没有零点；故选D．‎ ‎【点睛】偶函数需要满足并且定义域关于轴对称．零点就是函数与轴有交点．‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦二倍角公式，化简分母，再分子分母同时约分；分子分母同时除以cosα，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，正弦二倍角公式的化简，齐次式型的化简应用，属于基础题．‎ ‎6.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式，结合分段条件，代入计算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，可得f（e-2）=（e-2）2+1=e-4+1，‎ 所以f（f（e-2））=ln（e-4+1-1）=ln（e-4） ；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数解析式，涉及函数值的计算，其中解答中根据分段函数的解析式，结合分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 ‎8.设变量 满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 当动直线过时，有最小值，‎ 又由得，故.‎ ‎【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．‎ ‎9.已知，则实数a的取值范围是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由‎1.40.8‎＞0.81.4，结合幂函数y=xa单调性，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】依题意，根据指数函数的性质，可得‎1.40.8‎＞1＞0.81.4＞0，‎ 又因为（‎1.40.8‎）a＜（0.81.4）a，‎ 所以函数y=xa在（0，+∞）上单调递减，所以a＜0．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂的大小比较，幂函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10.在直角中，，点M是外接圆上任意一点，则的最大值为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量的线性运算，结合向量的数量积的运算公式，即可求解最大值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，设△ABC的外心即BC中点为O，‎ 由平面向量的线性运算，知，‎ 所以=，‎ 由图可知：==，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算和平面向量的数量积的运算公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11.已知定义在R上的函数在[0，7]上有1和6两个零点，且函数与函数都是偶函数，则在[0，2019]上的零点至少有（ ）个 A. 404 B. ‎406 ‎C. 808 D. 812‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，得到函数f（x）=f（10+x），得到函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，‎ 可得函数f（x）关于x=2和x=7对称，即 所以，可得，所以10是函数f（x）的一个周期，‎ 又由定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3和8也是函数的零点，‎ 可得f（x）=0的根为10n+1或10n+3或10n+6或10n+8的形式，‎ 所以0≤10n+1≤2019，解得-0.1≤n≤201.8，共201个，‎ 由0≤10n+3≤2019，解得-0.3≤n≤201.6，共201个，‎ 由0≤10n+6≤2019，解得-0.6≤n≤201.3，共201个，‎ 由0≤10n+8≤2019，解得-0.8≤n≤201.1，共201个，‎ 故函数y=f（x）在[0，2019]上零点个数为808个，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎12.定义在上的函数导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数，利用导数求得函数在上单调递减，再根据为奇函数，求得，得出不等式等价与，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，构造新函数，则， ‎ 因为，所以，所以函数在上单调递减，‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 所以，则，‎ 所以不等式等价与，即，‎ 所以不等式的解集为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题（本大题共3小题）‎ ‎13.已知向量，向量，若向量与平行，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标关系，代入关系式即可求得m的值．‎ ‎【详解】由题可知：，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．‎ ‎14.若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式恒成立，结合二次函数的性质，可得，即可求解m的范围，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，不等式恒成立，‎ 可得，即，解得，‎ ‎∴m的取值范围为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，其中解答中熟练应用一元二次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，分类讨论：‎ ‎①当时，，‎ 函数的最大值，舍去；‎ ‎②当时，，此时命题成立；‎ ‎③当时，，则：‎ 或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．‎ ‎16.函数的递减区间为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，或，由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.‎ 考点：对数函数性质、复合函数单调性.‎ 三、解答题（本大题共8小题）‎ ‎17.已知向量，函数的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎：（Ⅰ）‎ 因为的最大值为，所以 ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，‎ 得到 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，‎ 得到 因为所以 的最小值为最大值为 所以在上的值域为 ‎【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．‎ ‎（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．‎ ‎【详解】（1）由题意，在中，因为，‎ 由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcosA，‎ 又因为，可得sinB≠0，‎ 所以sinA=cosA，即：tanA=，‎ 因为A∈（0，π），所以A=；‎ ‎（2）由（1）可知A=，且a=5，‎ 又由△ABC的面积2=bcsinA=bc，解得bc=8，‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，‎ 整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，‎ 所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎19.设函数f（x）=（ax2-2x）•ex，其中a≥0．‎ ‎（1）当a=时，求f（x）的极值点；‎ ‎（2）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）0≤a≤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求出导数，得到单调性求出极值，在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以0＜a≤．‎ 试题解析：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•ex①‎ ‎（Ⅰ）若a=时，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-，x2=1，综合①，可知 x ‎ ‎(-∞，-) ‎ ‎- ‎ ‎(-，1) ‎ ‎1 ‎ ‎（1，+∞） ‎ f'（x） ‎ ‎+ ‎ ‎0 ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ f（x） ‎ ‎↗ ‎ 极大值 ‎ ‎↘ ‎ 极小值 ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ 所以，x1=-是极大值点，x2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）‎ ‎（Ⅱ）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，‎ 所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．‎ ‎（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立； ‎ ‎（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，‎ 则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以0＜a≤．‎ 综合（1）（2）知a的取值范围是0≤a≤．‎ 考点：导数的应用．‎ ‎20.以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；‎ ‎（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．‎ ‎【答案】（1）,；（2），，的最大值为1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆C的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点 ‎，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；‎ ‎（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆相切，得到的关系式，求出 的面积，运用基本不等式，即可得到最大值．‎ ‎【详解】（1）椭圆的离心率为，可得，即 又由，可得，‎ 设椭圆C的方程为，‎ 因为椭圆C过点，代入可得，‎ 解得，所以椭圆C的标准方程为，‎ 又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，‎ 所以椭圆C的“伴随”方程为．‎ ‎（2）由题意知，，‎ 易知切线的斜率存在，设切线的方程为，‎ 由得，‎ 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 则，．‎ 又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．‎ 所以=，‎ 则，，‎ 可得（当且仅当时取等号），‎ 所以当时，S△AOB的最大值为1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）判断方程在内的解的个数，并加以证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）方程在上有3个解；证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的切线方程，可得斜率即过的定点坐标，对函数求导，代入横坐标即可求得参数a；将横坐标带入原函数即可求得b，即得解析式．‎ ‎（2）令，对求导，并可知，，根据零点存在定理及单调性可知在上只有一个零点．同理，讨论在各区间的端点符号及单调性即可判断零点情况．‎ ‎【详解】（1）直线的斜率为，过点 ‎，则，即 所以 ‎（2）方程在上有3个解．‎ 证明：令，‎ 则 又，，‎ 所以在上至少有一个零点 又在上单调递减，故在上只有一个零点，‎ 当时，，故，‎ 所以函数在上无零点.‎ 当时，令，，‎ 所以在上单调递增，，‎ 所以，使得在上单调递增，在上单调递减.‎ 又，，所以函数在上有2个零点.‎ 综上，方程在上有3个解.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的性质及综合应用，零点的判断及证明，单调性的应用，综合性强，是高考的常考点，属于难题．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎23.已知．求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把不等式左边展开，把代入，利用均值不等式，即可证明；‎ ‎（2）由，又由，求得，代入即可证明．‎ ‎【详解】（1）由题意，且，‎ 则=‎ ‎==≥1，当且仅当时等号成立．‎ ‎（2）由，‎ 因为，且，所以，‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 从而．‎ ‎【点睛】考查不等式的证明，以及均值不等式在证明不等式问题中的应用，其中解答中合理运用均值不等式前的灵活变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．‎