数学卷·2018届四川省成都七中实验学校高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届四川省成都七中实验学校高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|﹣2|等于（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎2．已知=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），且•=2，则x的值是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎3．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（　　）‎ A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）‎ ‎6．已知函数在R上单调递增，则b的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．2 D．0‎ ‎8．命题“∀x∈，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎9．定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（　　）‎ A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0） B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C．f（1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0） D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）‎ ‎10．已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ ‎11．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数y=xsinx+cosx的导数为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=x2（x﹣3），则f（x）在R上的单调递减区间是　　．‎ ‎15．若a+b+c=3，且a、b、c∈R+，则的最小值为　　．‎ ‎16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6道小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知曲线C：y=x3．‎ ‎（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；‎ ‎（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？‎ ‎18．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（1，2，1），C（﹣1，6，4）‎ ‎（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎（2）若向量分别与向量，垂直，且||=10，求向量的坐标．‎ ‎19．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．‎ ‎（1）若f′（3）=0，求常数a的值； ‎ ‎（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．‎ ‎20．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．‎ ‎（1）求x和y的值；‎ ‎（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；‎ ‎（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．‎ ‎21．如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．‎ ‎（I）求证：BC⊥平面VAC；‎ ‎（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l：y=kx+‎ m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且=λ，λ∈R．‎ ‎①证明：λ2m2=4k2+1；‎ ‎②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|﹣2|等于（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据为单位向量，及，便可求出的值，进而求出的值．‎ ‎【解答】解：，且；‎ ‎∴；‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=3；‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．已知=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），且•=2，则x的值是（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由题意可得•=﹣3×1+2x+5×（﹣1）=2，解方程可得．‎ ‎【解答】解：∵=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），‎ ‎∴•=﹣3×1+2x+5×（﹣1）=2，‎ 解得x=5‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，‎ cos2a=cos（4kπ+）=cos=‎ 反之，当cos2a=时，‎ 有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），‎ 或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：输入的a值为1，则b=1，‎ 第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；‎ 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；‎ 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，‎ 故输出的k值为2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（　　）‎ A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：y'=2x，设切点为（a，a2）‎ ‎∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，‎ ‎∴a=，‎ 在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数在R上单调递增，则b的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′x）≥0恒成立，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数y=x3+bx2+（b+2）x+3，‎ ‎∴f′（x）=x2+2bx+b+2，‎ ‎∵函数y=x3+bx2+（b+2）x+3在R上是增函数，‎ ‎∴f′（x）=x2+2bx+b+2≥0恒成立，‎ ‎∴判别式△=4b2﹣4（b+2）≤0，‎ ‎∴b2﹣b﹣2≤0，‎ 即﹣1≤b≤2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．2 D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：已知实数x、y满足，‎ 在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，‎ 三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），‎ 由图可知，当x=2，y=0时，‎ ‎4x+y的最大值是8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．命题“∀x∈，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，‎ 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（　　）‎ A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0） B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0） C．f（1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0） D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），从而可得F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，从而可判断出f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；从而求解．‎ ‎【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），‎ 则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，‎ 故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，‎ 故F（1）＜F（0），‎ 故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；‎ 故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（　　）‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2，进行判断，能得m＞n，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C1： +y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，‎ ‎∴满足c2=m2﹣1=n2+1，‎ 即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D 则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，‎ 则c＜m．c＞n，‎ e1=，e2=，‎ 则e1•e2=•=，‎ 则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+=1+＞1，‎ ‎∴e1e2＞1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】展开，并根据x+y=1可以得到，可令t=xy，并求出，而根据的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．‎ ‎【解答】解：z=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=；‎ 令t=xy，则；‎ 由在上单调递减，故当t=时有最小值，‎ 即：时z有最小值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．‎ ‎【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，‎ 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．函数y=xsinx+cosx的导数为　y′=xcosx　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用函数 的求导公式解答即可．‎ ‎【解答】解：y'=（xsinx+cosx）'=（xsinx）'﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx；‎ 故答案为：y'=xcosx．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x2（x﹣3），则f（x）在R上的单调递减区间是　　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x2（x﹣3）=x3﹣3x2，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），‎ 由f′（x）=3x（x﹣2）≤0，解得0≤x≤2，‎ 故f（x）在R上的单调递减区间是，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．若a+b+c=3，且a、b、c∈R+，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】令a+b=m，则m+c=3，又a、b、c∈R+，利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：令a+b=m，则m+c=3，又a、b、c∈R+，‎ ‎∴，当且仅当m=a+b=c=时取等号，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可 ‎【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，‎ 则=， =， =‎ ‎∵，‎ ‎∴=（）•（）=﹣++﹣+‎ ‎=﹣++=﹣1++1=1‎ ‎||===‎ ‎||===‎ ‎∴cos＜，＞===‎ ‎∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6道小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知曲线C：y=x3．‎ ‎（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；‎ ‎（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．‎ ‎（2）由（1）得出的切线方程与函数y=x3组成方程组，解得两组解，从而得出切线与曲线C还有其他的公共点．‎ ‎【解答】解：（1）y'=3x2‎ y'|x=1=3，‎ 而切点的坐标为（1，1）‎ ‎∴曲线y=x3在x=1的处的切线方程为3x﹣y﹣2=0‎ ‎（2）由方程组：‎ 解得：或 故切线与曲线C还有其他的公共点：（﹣2，﹣8）．‎ ‎　‎ ‎18．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（1，2，1），C（﹣1，6，4）‎ ‎（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；‎ ‎（2）若向量分别与向量，垂直，且||=10，求向量的坐标．‎ ‎【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【分析】（1）=（2，0，0），=（0，4，3），可得=0，⊥，即可得出面积．‎ ‎（2）设=（x，y，z），则=2x=0， =4y+3z=0， =10，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）=（2，0，0），=（0，4，3），‎ ‎∴=0，∴⊥，‎ 又||=2，||=5，‎ ‎∴以向量为一组邻边的平行四边形的面积S=2×5=10．‎ ‎（2）设=（x，y，z），则=2x=0， =4y+3z=0， =10，‎ 解得x=0，y=﹣6，z=8；或x=0，y=6，z=﹣8．‎ ‎∴=（0，﹣6，8）或（0，6，﹣8）‎ ‎　‎ ‎19．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．‎ ‎（1）若f′（3）=0，求常数a的值； ‎ ‎（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x），由f'（3）=0，求解得到a的值即可；‎ ‎（2）因为函数在（﹣∞，0）上为增函数令f'（x）=0得到函数的驻点，由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）．‎ 因f'（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0．解得a=3．‎ ‎（2）令f'（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0得x1=a，x2=1．‎ 当a＜1时，若x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，‎ 所以f（x）在（﹣∞，a）和（1，+∞）上为增 函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．‎ 当a≥1时，若x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，‎ 所以f（x）在（﹣∞，1）和（a，+∞）上为增函 数，从而f（x）在（﹣∞，0]上也为增函数．‎ 综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．‎ ‎　‎ ‎20．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．‎ ‎（1）求x和y的值；‎ ‎（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；‎ ‎（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．‎ ‎（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．‎ ‎（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，‎ ‎∴，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；‎ ‎（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；‎ ‎（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，‎ 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，‎ 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），‎ ‎（B，C），（B，D），（B，E），‎ ‎（C，D），（C，E），‎ ‎（D，E）‎ 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．‎ 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，‎ 甲班至少有一名学生”为事件M，则．‎ 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．‎ ‎（I）求证：BC⊥平面VAC；‎ ‎（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．‎ ‎（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣VA﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴VC⊥BC，‎ ‎∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ 又∵VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC=C，‎ ‎∴BC⊥平面VAC．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，‎ 分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），‎ ‎=（1，0，﹣2），，‎ 设平面VAC的法向量==（0，2，0），‎ 设平面VAM的法向量=（x，y，z），‎ 由，取y=，得 ‎∴，‎ ‎∴cos＜＞==，‎ ‎∴二面角M﹣VA﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹Γ于点Q，且=λ，λ∈R．‎ ‎①证明：λ2m2=4k2+1；‎ ‎②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．‎ ‎【考点】轨迹方程；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．‎ ‎②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|=，由此能求出△AOB的面积，再利用基本不等式求最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），且x02+y02=4，①‎ ‎∵=（+），‎ ‎∴x0=x，y0=2y，②‎ ‎②代入①可得x2+4y2=4；‎ ‎（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=（1）‎ ‎∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，‎ 又由中点坐标公式，得G（，），‎ 将Q（，）代入椭圆方程，化简，得λ2m2=1+4k2，（2）．‎ ‎②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x1﹣x2|=，（3）‎ 结合（2）、（3），得S△AOB=，λ∈（1，+∞），‎ 令=t∈（0，+∞），则S=≤≤1（当且仅当t=1即λ=时取等号），‎ ‎∴λ=时，S取得最大值1．‎