2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学（理）试题（解析版）

山西省临汾一中、忻州一中2018-2019学年高二3月联考数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. i是虚数单位，若‎1+7i‎2-i=z，则z‎-‎等于（　　）‎ A. ‎3i-1‎ B. ‎3i+1‎ C. ‎1-3i D. ‎‎-1-3i 2. 函数y=ln（3x-2）上过点（1，0）的切线方程（　　）‎ A. y=x-1‎ B. y=3x-3‎ C. y=-x-1‎ D. ‎y=3x+1‎ 3. 已知等差数列{an}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（　　）‎ A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 4或3‎ 4. 若函数f（x）=Asin（ωx-π‎6‎）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（　　） ‎ A. ‎-1+‎‎3‎‎2‎ B. ‎1‎‎2‎ C. ‎1-‎‎3‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎2‎ 5. 用数学归纳法证明  1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n‎-1‎＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（　　）‎ A. ‎1+‎1‎‎2‎<2‎ B. ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎<2‎ C. ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎<3‎ D. ‎‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎<3‎ 6. 若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. ‎[0,+∞)‎ B. ‎(-∞,0]‎ C. ‎(-∞,0)‎ D. ‎‎(0,+∞)‎ 7. 已知三棱锥P-ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两垂直，若PA=PB=PC=2，则球心O到平面ABC的距离为（　　）‎ A. ‎2‎‎3‎‎3‎ B. ‎3‎ C. 1 D. ‎‎3‎‎3‎ 8. 设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）‎ A. a<-‎‎1‎‎3‎ B. a>-‎‎1‎‎3‎ C. a<-3‎ D. ‎a>-3‎ 9. 设x，y满足约束条件‎3x-y-6≤0‎x-y+2≥0‎x≥0，y≥0‎，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则‎2‎a‎+‎‎3‎b的最小值为（　　）‎ A. ‎25‎‎6‎ B. ‎8‎‎3‎ C. ‎11‎‎3‎ D. 4‎ 1. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为a‎2‎‎+‎b‎2‎‎8‎，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A. ‎5‎‎3‎ B. ‎7‎‎3‎ C. ‎10‎‎3‎ D. ‎‎15‎‎3‎ 2. 设命题p：在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点O在线段CD上（与点C，D不重合），实数a满足AO=aAB+（1-a）AC；命题q：函数f（x）=‎1‎‎3‎x3+‎3(3-a)‎‎2‎x2+9x无极值点；若p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. ‎(-‎1‎‎3‎,0)‎ B. ‎(-‎1‎‎3‎,0)∪[1‎，‎5]‎ C. ‎(0,1]‎ D. ‎‎(-‎1‎‎3‎,5]‎ 3. 已知奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）为其导函数，且满足以下条件 ①x＞0时，f′（x）＜‎3f(x)‎x；②f（1）=‎1‎‎2‎；③f（2x）=2f（x），则不等式f(x)‎‎4x＞2x2的解集为（　　）‎ A. ‎(-∞,-‎1‎‎4‎)∪(‎1‎‎4‎,+∞)‎ B. ‎(-‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎)‎ C. ‎(-‎1‎‎4‎,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,‎1‎‎4‎)‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 设点P在曲线y=2ex+x上，点Q在直线y=3x-1上，则PQ的最小值为______．‎ 5. 已知函数f（x）=sinx，x∈[-π，0]‎‎1-‎x‎2‎‎，x∈(0，1]‎，则‎-π‎1‎f（x）dx=______．‎ 6. 若f（x）=xsinx+cosx，则f（-3），f（π‎2‎），f（2）的大小关系为______．‎ 7. 已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f(x)‎g(x)‎‎=‎ax，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f(1)‎g(1)‎‎+f(-1)‎g(-1)‎=‎‎5‎‎2‎，若有穷数列‎{f(n)‎g(n)‎}(n∈N‎*‎)‎的前n项和等于‎31‎‎32‎，则n=______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 8. 已知函数f（x）=cos2x+‎3‎sinxcosx． （1）求f（x）的最小正周期； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=‎3‎‎2‎，a=3，S△ABC=‎3‎，求b2+c2的值． ‎ 1. 已知函数f（x）=ex-alnx（a∈R）在x=‎1‎e处取得极小值， （1）求实数a的值； （2）若在区间[‎1‎e，e]内存在x0，使不等式f（x）＜x+m成立，求m的取值范围． ‎ 2. 在如图所示的六面体中，底面ABCD是矩形，平面ABEF是以EF为直角腰的直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF，AD=AF=‎1‎‎2‎BE=‎1‎‎2‎AB=2． （1）求证：AC∥平面DEF； （2）求直线CE和平面DEF所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ 3. 已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围． ‎ 4. 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于‎1‎‎2‎，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=4‎3‎y的焦点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． ‎ 1. 对于函数y=H（x），若在其定义域内存在x0，使得x0⋅H（x0）=1成立，则称x0为函数H（x）的“倒数点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=‎1‎‎2‎（x+1）2-1． （1）求证：函数f（x）有“倒数点”，并讨论函数f（x）的“倒数点”的个数； （2）若当x≥1时，不等式xf（x）≤m[g（x）-x]恒成立，试求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ 解：由=z，得z=， ∴． 故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ 解：∵点（1，0）在函数y=ln（3x-2）上 ∴函数的导数为f′（x）=， 当x=1时，f′（1）=3， 则切线的斜率k=f′（1）=3， ∵直线过点（1，0） ∴切线方程为y-0=3（x-1）， 即y=3x-3， 故选：B． 求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论． 本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ 解：设等差数列{an}的公差为d， 则a1=3-2d，a2=3-d，a4=3+d， 由a1，a2，a4成等比数列，得 =a1a4，即（3-d）2=（3-2d）（3+d）， 解得：d=0或1， 当d=0时，a5=a3+2d=3； 当d=1时，a5=a3+2d=5． 故选：C． 设等差数列{an}的公差为d，可得a1=3-2d，a2=3-d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得关于d的方程，求出d，则a5可求． 本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ 解：依题意A=1，==π，∴T=2π，ω==1，∴f（x）=sin（x-），故当x=时，f（x）=0． ∴阴影面积为==cos（x-）|=1-． 故选：C． 先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可． 本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：； 故选：B． 直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可． 在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ 解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x＞0． 函数f（x）=x+alnx的导数为：f′（x）=1+， 当a≥0时，f′（x）＞0，函数是增函数， 当a＜0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，0）． 故选：C． 求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性，考查计算能力．‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d， 因为PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2， 所以AB=BC=CA=2，且O′为△ABC的中心， 于是=2r，得r=， 又PO′==． ‎ OO′=R-=d=，解得R=， 故d=R-=． 故选：D． 设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离． 本题是基础题，考查球心O到平面ABC的距离，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力．‎ ‎8.【答案】C 【解析】‎ 解：设f（x）=eax+3x，则f′（x）=3+aeax， ∵函数在x∈R上有大于零的极值点， ∴f′（x）=3+aeax=0有正根， ①当a≥0时，f′（x）=3+aeax＞0， ∴f′（x）=3+aeax=0无实数根， ∴函数y=eax+3x，x∈R无极值点； ②当a＜0时，由f′（x）=3+aeax=0，解得x=ln（-）， 当x＞ln（-）时，f′（x）＞0，当x＜ln（-）时，f′（x）＜0， ∴x=ln（-）为函数的极值点， ∴ln（-）＞0，解得a＜-3， ∴实数a的取值范围是a＜-3． 故选：C． 根据题意，问题可以转化为f′（x）=3+aeax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围． 本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意极值点即为导函数等于0的根，从而可以将问题转化为根的存在性问题进行解决．属于中档题．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时， 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=‎ ‎， 故选：A． 已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答． 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．‎ ‎10.【答案】C 【解析】‎ 解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为-1的直线l方程为y=c-x ∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限 ∴为解得P（，） ∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b ∴该双曲线的离心率为== 故选：C． 先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率． 本题考查了双曲线的一些性质，离心率、焦点坐标等，同时考查了直线方程和三角形面积公式．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解：=+=+y=+y（-）=-y+（1+y）， ∵=3，点O在线段CD上（与点C，D不重合）， ∴y∈（0，） 又=a+（1-a）； ∴a=-y∈（-，0）， 即p：a∈（-，0）， 函数f′（x）=x2+3（3-a）x+9， 若f（x）无极值点，则f′（x）≥0恒成立， 即判别式△=9（3-a）2-36≤0， 得（a-3）2≤4， 即-2≤a-3≤2，得1≤a≤5，即q：1≤a≤5， 若p∧q为假，p∨q为真， 则p，q一个为真命题，一个为假命题， ‎ 若p真q假则，此时-＜x＜0 若p假q真，则得1≤a≤5， 综上-＜x＜0或1≤a≤5 则a的取值范围是（-，0）∪[1，5]， 故选：B． 根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可． 本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎12.【答案】B 【解析】‎ 解：令函数，∴， 当x＞0时，f′（x）＜，所以h′（x）＜0， h（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为奇函数， 所以函数为偶函数． ∴h（x）在（-∞，0）上单调递增， 又f（1）=，f（2x）=2f（x）， ∴，， ． ∴⇔，即，所以，解之得． 故选：B． 构造函数，研究h（x）的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式． 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性解函数不等式，属于中档题目．‎ ‎13.【答案】‎3‎‎10‎‎10‎ 【解析】‎ 解：设与直线y=3x-1平行的直线y=3x+c与曲线y=2ex+x相切于点（m，n）， 则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值， ∴2em+1=3，3m+c=2em+m，解得m=0，c=2， ∴曲线的切线为y=3x+2， ‎ 由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=． 故答案为：． 设与直线y=3x-1平行的直线y=3x+c与曲线2ex+x相切与点（m，n），两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由相切函数平行线间的距离公式可得． 本题考查指数函数的导数，涉及切线问题，注意运用转化思想，属中档题．‎ ‎14.【答案】π‎4‎-2 【解析】‎ 解：sinxdx=（-cosx）=-2， dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积，即， 故则f（x）dx=sinxdx+dx=-2， 故答案为：-2． 由定积分基本定理及分段函数的应用得：sinxdx=（-cosx）=-2，dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积，即，故则f（x）dx=sinxdx+dx=-2，得解． 本题考查了定积分基本定理及分段函数的应用，属中档题．‎ ‎15.【答案】f（π‎2‎）＞f（2）＞f（-3）． 【解析】‎ 解：由f（-x）=f（x）知，函数f（x）为偶函数， 因此f（-3）=f（3）． 又f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx， 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，π）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在区间（，π）上是减函数， ∴f（）＞f（2）＞f（3）=f（-3）， 故答案为：f（）＞f（2）＞f（-3）． 由f（-x）=f（x）知，函数f（x）为偶函数，得f（-3）=f（3）．又f′（x）=sin x+xcos x-sin x=xcos x，从而f（x）在区间（，π）上是减函数，得f（）＞f（2）＞f（3）=f（-3）． 本题考察了函数的单调性，偶函数的定义，导数的应用，是一道基础题．‎ ‎16.【答案】5 【解析】‎ 解：∵函数f（x），g（x）满足， ∴ ∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）， ∴（ax）′＜0 ∴（ax）′=axlna＜0，∴0＜a＜1 ∵，∴a+= ∴a=或a=2（舍去） ∴有穷数列是以为首项，为公比的等比数列 ∵有穷数列的前n项和等于， ∴= ∴ ∴n=5 故答案为：5 根据函数商的导数公式确定a的范围，利用方程求得a值，从而可得有穷数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论． 本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用，确定有穷数列是以为首项，为公比的等比数列是关键．‎ ‎17.【答案】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+‎3‎sinxcosx =‎1+cos2x‎2‎+‎3‎‎2‎sin2x =sin（2x+π‎6‎）+‎1‎‎2‎， ∴f（x）的最小正周期T=‎2π‎2‎=π； （2）∵f（A）=sin（2A+π‎6‎）+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎， ∴sin（2A+π‎6‎）=1， ∵A∈（0，π），2A+π‎6‎∈（π‎6‎，‎13π‎6‎）， ∴2A+π‎6‎=π‎2‎，解得A=π‎6‎， 又S△ABC=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎4‎bc=‎3‎， ‎ ‎∴bc=4‎3‎，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA， 代入数据可得32=b2+c2-2×4‎3‎×‎3‎‎2‎， 解得b2+c2=21． 【解析】‎ ‎ （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）+，由周期公式可得； （2）由已知条件和（1）的结果可得A，再由面积公式整体可得bc，代入a2=b2+c2-2bccosA即可得解． 本题考查正、余弦定理解三角形，涉及三角函数的周期性和整体思想，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎18.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=e-ax， 若f（x）在x=‎1‎e处取得极小值， 则f′（‎1‎e）=e-a‎1‎e=e-ae=0，得a=1． （2）∵a=1，∴f（x）=ex-lnx， 若在区间[‎1‎e，e]内存在x0，使不等式f（x）＜x+m成立， 即f（x）-x＜m成立， 设h（x）=f（x）-x=ex-lnx-x， f（x）-x＜m成立等价为m＞h（x）min，即可． 函数的导数h′（x）=（e-1）-‎1‎x， 由h′（x）＞0得（e-1）-‎1‎x＞0，得‎1‎e-1‎＜x≤e，此时函数h（x）为增函数 由h′（x）＜0得（e-1）-‎1‎x＜0，得‎1‎e＜x＜‎1‎e-1‎，此时函数h（x）为减函数， 即当x=‎1‎e-1‎时，h（x）取得极小值同时也是最小值h（‎1‎e-1‎）=（e-1）•‎1‎e-1‎-ln‎1‎e-1‎=1+ln（e-1）， 即h（x）min=1+ln（e-1）， 即m＞1+ln（e-1）， 即实数m的取值范围是（1+ln（e-1），+∞）． 【解析】‎ ‎ （1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可． （2）利用参数分离法，构造函数转化为求m＞h（x）min，即可． 本题主要考查导数的应用，结合函数极值和导数之间的关系进行转化，以及构造函数，利用参法分离法转化为最值是解决本题的关键．‎ ‎19.【答案】 解：（1）证明：去BE中点G，连接CG、AG、FG， ∵AF=2，BE=4，AF∥BE，G为BE中点， ∴AF∥GE，AF=GE，AF∥GB，AF=GB，EF⊥BE． ∴四边形AFEG为矩形，四边形AFGB为平行四边形， ∴AG∥FE，FG∥AB，FG=AB， ∵AG不在平面DEF内，FE⊂平面DEF， 所以AG∥平面DEF， ∵四边形AFGB均为平行四边形， ∴FG∥AB，FG=AB，AB∥CD，AB=CD， ∴FG∥DC，FG=DC， ∴四边形CDFG为平行四边形． ∴CG∥DF，又∵DF⊂平面DEF，CG不在平面DEF内， 所以CG∥平面DEF，又因为AG∩FG=G， 所以平面ACG∥平面DEEF，AC⊂平面DEF． （2）过E做EO垂直于AB于O，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立坐标系，设直线CE和平面DEF所成角为θ， 由（1）知AF=CE=2，AG⊥BE，BG=‎1‎‎2‎AB， ∴∠ABE=60°， 平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，OE⊂平面ABEF， ∴OE⊥平面ABCD， ∴OE=BEsin60°=2‎3‎， FA∥BE， 故F点坐标为（0，-3，0），D（2，-2，0），C（2，2，0）． ∴CE=（-2，-2，2‎3‎），DF=（-2，-1，‎3‎），DE=（-2，2，2‎3‎）， 设平面DEF的法向量n=（x，y，1） 则‎-2x-y+‎3‎=0‎‎-2x+2y+2‎3‎=0‎解得n=（‎2‎‎3‎‎3‎，‎-‎‎3‎‎3‎，1）． ∴sinθ=|cos‎＜n，‎CE＞‎|=‎|-‎4‎‎3‎‎3‎+‎2‎‎3‎‎3‎+2‎3‎|‎‎4‎‎3‎‎+‎1‎‎3‎+1‎‎⋅‎‎4+4+12‎=‎10‎‎10‎． 【解析】‎ ‎ （1）找到BE中点G，连接CG、AG、FG，证明平面ACG∥平面DEF， （2）过E做EO垂直于AB于O，以O为坐标原点，AB所在直线为y轴建立坐标系，利用坐标运算求线面角的正弦值． 本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=px+2（p-1）x=‎2(p-1)x‎2‎+px， 当p＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增； 当p≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减； ‎ 当0＜p＜1时，令f′（x）=0，解得x=‎-p‎2(p-1)‎． 则当0＜x＜‎-p‎2(p-1)‎时，f′（x）＞0；x＞‎-p‎2(p-1)‎，时，f′（x）＜0． 故f（x）在（0，‎-p‎2(p-1)‎）单调递增，在（‎-p‎2(p-1)‎，+∞）单调递减； （2）因为x＞0，所以当p=1时，f（x）≤kx恒成立， ⇔1+lnx≤kx⇔k‎≥‎‎1+lnxx， 令h（x）=‎1+lnxx，则k≥h（x）max， 因为h′（x）=‎-lnxx‎2‎，由h′（x）=0得x=1， 且当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0． 所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减． 所以h（x）max=h（1）=1， 故k≥1． 【解析】‎ ‎ （1）求出f（x）的导数，讨论当p＞1时，当p≤0时，当0＜p＜1时，求出单调区间即可； （2）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，⇔1+lnx≤kx⇔k，令h（x）=，则k≥h（x）max，运用导数求出单调区间，进而得到最大值即可． 本题考查导数的运用：求单调区间，判断单调性，求最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎21.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞b＞0）． 则ca‎=‎‎1‎‎2‎b=‎‎3‎a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎，解得a2=4，b2=3， ∴椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径R， 则△F1AB的周长=4a=8，S‎△F‎1‎AB‎=‎‎1‎‎2‎（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R， 因此S‎△F‎1‎AB最大，R就最大， 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1， 由x=my+1‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎，得（3m2+4）y2+6my-9=0， y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎-6m‎3m‎2‎+4‎，y‎1‎y‎2‎‎=‎‎9‎‎3m‎2‎+4‎． 则S‎△F‎1‎AB‎=‎‎1‎‎2‎|F1F2|（y1-y2）=‎12‎m‎2‎‎+1‎‎3m‎2‎+4‎， 令m‎2‎‎+1‎‎=t，则m2=t2-1， ∴S‎△F‎1‎AB=‎12t‎3t‎2‎+1‎=‎12‎‎3t+‎‎1‎t， 令f（t）=3t+‎‎1‎t ‎，则f′（t）=3-‎1‎t‎2‎， 当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S‎△F‎1‎AB≤3， 即当t=1，m=0时，S‎△F‎1‎AB≤3， 由S‎△F‎1‎AB=4R，得Rmax=‎3‎‎4‎，这时所求内切圆面积的最大值为‎9‎‎16‎π． 故直线l：x=1，△F1AB内切圆面积的最大值为‎9‎‎16‎π． 【解析】‎ ‎ （Ⅰ）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的径R，则△F1AB的周长=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论． 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出三角形F1AB最大，R就最大是关键，是中档题．‎ ‎22.【答案】解：（1）令f（x）=lnx=‎1‎x，可得lnx-‎1‎x=0， 故函数f（x）有倒数点等价于方程lnx-‎1‎x=0有解， 令m（x）=lnx-‎1‎x（x＞0），则m′（x）=‎1‎x+‎1‎x‎2‎＞0， 故m（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵m（1）=-1＜0，m（e）=1-‎1‎e＞0， ∴m（x）在（1，e）上必存在一个零点，即方程lnx-‎1‎x=0有解， ∴f（x）有倒数点． ∵m（x）为单调递增函数，∴m（x）在（0，+∞）上只有1个零点， ∴f（x）只有1个倒数点． （2）∵xf（x）≤m[g（x）-x]在[1，+∞）上恒成立，即xlnx≤‎1‎‎2‎m（x2-1）在[1，+∞）上恒成立． 当x=1时，显然不等式恒成立， 当x≠1时，由xlnx≤‎1‎‎2‎m（x2-1）可得：m≥‎2xlnxx‎2‎‎-1‎（x＞1）， 令h（x）=‎2xlnxx‎2‎‎-1‎，则h′（x）=‎-2(x‎2‎lnx+lnx-x‎2‎+1)‎‎(x‎2‎-1‎‎)‎‎2‎， ‎ 令p（x）=x2lnx+lnx-x2+1，则p′（x）=2xlnx-x+‎1‎x，p″（x）=2lnx+1-‎1‎x‎2‎， ∵x＞1，∴2lnx＞0，1-‎1‎x‎2‎＞0，∴p″（x）＞0， ∴p′（x）在（1，+∞）上单调递增，故p′（x）＞p′（1）=0， ∴p（x）在（1，+∞）上单调递增，故p（x）＞p（1）=0， ∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立， ∴h（x）在（1，+∞）单调递减，又当x→1时，h（x）→x→1‎lim‎2lnx+2‎‎2x=1， 故h（x）＜1在（1，+∞）上恒成立． ∴m≥1． 【解析】‎ ‎ （1）令m（x）=f（x）-，判断m（x）的零点个数得出倒数点个数； （2）分离参数可得m≥（x＞1），利用导数求出h（x）=的最大值，从而得出m的范围． 本题考查了函数零点的个数判断，函数单调性的判断与最值的计算，属于中档题．‎