2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学(理)试题(解析版)

山西省临汾一中、忻州一中2018-2019学年高二3月联考数学(理)试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. i是虚数单位,若‎1+7i‎2-i=z,则z‎-‎等于(  )‎ A. ‎3i-1‎ B. ‎3i+1‎ C. ‎1-3i D. ‎‎-1-3i 2. 函数y=ln(3x-2)上过点(1,0)的切线方程(  )‎ A. y=x-1‎ B. y=3x-3‎ C. y=-x-1‎ D. ‎y=3x+1‎ 3. 已知等差数列{an}满足a3=3,且a1,a2,a4成等比数列,则a5=(  )‎ A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 4或3‎ 4. 若函数f(x)=Asin(ωx-π‎6‎)(A>0,ω>0)的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为(  ) ‎ A. ‎-1+‎‎3‎‎2‎ B. ‎1‎‎2‎ C. ‎1-‎‎3‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎2‎ 5. 用数学归纳法证明  1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n‎-1‎<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式(  )‎ A. ‎1+‎1‎‎2‎<2‎ B. ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎<2‎ C. ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎<3‎ D. ‎‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎<3‎ 6. 若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是(  )‎ A. ‎[0,+∞)‎ B. ‎(-∞,0]‎ C. ‎(-∞,0)‎ D. ‎‎(0,+∞)‎ 7. 已知三棱锥P-ABC的各顶点都在以O为球心的球面上,且PA、PB、PC两垂直,若PA=PB=PC=2,则球心O到平面ABC的距离为(  )‎ A. ‎2‎‎3‎‎3‎ B. ‎3‎ C. 1 D. ‎‎3‎‎3‎ 8. 设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则(  )‎ A. a<-‎‎1‎‎3‎ B. a>-‎‎1‎‎3‎ C. a<-3‎ D. ‎a>-3‎ 9. 设x,y满足约束条件‎3x-y-6≤0‎x-y+2≥0‎x≥0,y≥0‎,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则‎2‎a‎+‎‎3‎b的最小值为(  )‎ A. ‎25‎‎6‎ B. ‎8‎‎3‎ C. ‎11‎‎3‎ D. 4‎ 1. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P,点P在第一象限,O为坐标原点,若△OFP的面积为a‎2‎‎+‎b‎2‎‎8‎,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. ‎5‎‎3‎ B. ‎7‎‎3‎ C. ‎10‎‎3‎ D. ‎‎15‎‎3‎ 2. 设命题p:在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),实数a满足AO=aAB+(1-a)AC;命题q:函数f(x)=‎1‎‎3‎x3+‎3(3-a)‎‎2‎x2+9x无极值点;若p∧q为假,p∨q为真,则实数a的取值范围是(  )‎ A. ‎(-‎1‎‎3‎,0)‎ B. ‎(-‎1‎‎3‎,0)∪[1‎,‎5]‎ C. ‎(0,1]‎ D. ‎‎(-‎1‎‎3‎,5]‎ 3. 已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f′(x)为其导函数,且满足以下条件 ①x>0时,f′(x)<‎3f(x)‎x;②f(1)=‎1‎‎2‎;③f(2x)=2f(x),则不等式f(x)‎‎4x>2x2的解集为(  )‎ A. ‎(-∞,-‎1‎‎4‎)∪(‎1‎‎4‎,+∞)‎ B. ‎(-‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎)‎ C. ‎(-‎1‎‎4‎,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,‎1‎‎4‎)‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 4. 设点P在曲线y=2ex+x上,点Q在直线y=3x-1上,则PQ的最小值为______.‎ 5. 已知函数f(x)=sinx,x∈[-π,0]‎‎1-‎x‎2‎‎,x∈(0,1]‎,则‎-π‎1‎f(x)dx=______.‎ 6. 若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f(π‎2‎),f(2)的大小关系为______.‎ 7. 已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(x)‎g(x)‎‎=‎ax,且f′(x)g(x)<f(x)g′(x),f(1)‎g(1)‎‎+f(-1)‎g(-1)‎=‎‎5‎‎2‎,若有穷数列‎{f(n)‎g(n)‎}(n∈N‎*‎)‎的前n项和等于‎31‎‎32‎,则n=______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ 8. 已知函数f(x)=cos2x+‎3‎sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=‎3‎‎2‎,a=3,S△ABC=‎3‎,求b2+c2的值. ‎ 1. 已知函数f(x)=ex-alnx(a∈R)在x=‎1‎e处取得极小值, (1)求实数a的值; (2)若在区间[‎1‎e,e]内存在x0,使不等式f(x)<x+m成立,求m的取值范围. ‎ 2. 在如图所示的六面体中,底面ABCD是矩形,平面ABEF是以EF为直角腰的直角梯形,且平面ABCD⊥平面ABEF,AD=AF=‎1‎‎2‎BE=‎1‎‎2‎AB=2. (1)求证:AC∥平面DEF; (2)求直线CE和平面DEF所成角的正弦值. ‎ ‎ ‎ 3. 已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当p=1时,f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围. ‎ 4. 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于‎1‎‎2‎,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=4‎3‎y的焦点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. ‎ 1. 对于函数y=H(x),若在其定义域内存在x0,使得x0⋅H(x0)=1成立,则称x0为函数H(x)的“倒数点”.已知函数f(x)=lnx,g(x)=‎1‎‎2‎(x+1)2-1. (1)求证:函数f(x)有“倒数点”,并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数; (2)若当x≥1时,不等式xf(x)≤m[g(x)-x]恒成立,试求实数m的取值范围. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ 解:由=z,得z=, ∴. 故选:D. 直接利用复数代数形式的乘除运算得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ 解:∵点(1,0)在函数y=ln(3x-2)上 ∴函数的导数为f′(x)=, 当x=1时,f′(1)=3, 则切线的斜率k=f′(1)=3, ∵直线过点(1,0) ∴切线方程为y-0=3(x-1), 即y=3x-3, 故选:B. 求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论. 本题主要考查导数的几何意义,求函数的导数是解决本题的关键.‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ 解:设等差数列{an}的公差为d, 则a1=3-2d,a2=3-d,a4=3+d, 由a1,a2,a4成等比数列,得 =a1a4,即(3-d)2=(3-2d)(3+d), 解得:d=0或1, 当d=0时,a5=a3+2d=3; 当d=1时,a5=a3+2d=5. 故选:C. 设等差数列{an}的公差为d,可得a1=3-2d,a2=3-d,a4=3+d,由a1,a2,a4成等比数列,得关于d的方程,求出d,则a5可求. 本题考查等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ 解:依题意A=1,==π,∴T=2π,ω==1,∴f(x)=sin(x-),故当x=时,f(x)=0. ∴阴影面积为==cos(x-)|=1-. 故选:C. 先求出f(x)的解析式,以及对应的零点,积分即可. 本题考查了正弦型函数的图象,定积分,主要考查计算能力,属于基础题.‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解:用数学归纳法证明(n∈N+,n>1)时,第一步应验证不等式为:; 故选:B. 直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可. 在数学归纳法中,第一步是论证n=1时结论是否成立,此时一定要分析不等式左边的项,不能多写也不能少写,否则会引起答案的错误.‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ 解:函数f(x)=x+alnx的定义域为:x>0. 函数f(x)=x+alnx的导数为:f′(x)=1+, 当a≥0时,f′(x)>0,函数是增函数, 当a<0时,函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是(-∞,0). 故选:C. 求出函数的定义域,函数的导数,利用导数值求解a的范围. 本题考查函数的导数的应用,函数的单调性,考查计算能力.‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解:如图,设过A,B,C的截面圆的圆心为O′,半径为r,球心O到该截面的距离为d, 因为PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2, 所以AB=BC=CA=2,且O′为△ABC的中心, 于是=2r,得r=, 又PO′==. ‎ OO′=R-=d=,解得R=, 故d=R-=. 故选:D. 设过A,B,C的截面圆的圆心为O′,半径为r,球心O到该截面的距离为d,利用PA,PB,PC两两垂直,O′为△ABC的中心,求出截面圆的半径,通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离,求出球的半径,即可求出球心O到平面ABC的距离. 本题是基础题,考查球心O到平面ABC的距离,球的截面圆的有关性质,考查空间想象能力,计算能力.‎ ‎8.【答案】C 【解析】‎ 解:设f(x)=eax+3x,则f′(x)=3+aeax, ∵函数在x∈R上有大于零的极值点, ∴f′(x)=3+aeax=0有正根, ①当a≥0时,f′(x)=3+aeax>0, ∴f′(x)=3+aeax=0无实数根, ∴函数y=eax+3x,x∈R无极值点; ②当a<0时,由f′(x)=3+aeax=0,解得x=ln(-), 当x>ln(-)时,f′(x)>0,当x<ln(-)时,f′(x)<0, ∴x=ln(-)为函数的极值点, ∴ln(-)>0,解得a<-3, ∴实数a的取值范围是a<-3. 故选:C. 根据题意,问题可以转化为f′(x)=3+aeax=0有正根,通过讨论此方程根为正根,求得参数的取值范围. 本题考查了利用导数研究函数的极值,解题时要注意极值点即为导函数等于0的根,从而可以将问题转化为根的存在性问题进行解决.属于中档题.‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线ax+by=z(a>0,b>0) 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时, 目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=‎ ‎, 故选:A. 已知2a+3b=6,求的最小值,可以作出不等式的平面区域,先用乘积进而用基本不等式解答. 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.‎ ‎10.【答案】C 【解析】‎ 解:设右焦点F(c,0),则过F且斜率为-1的直线l方程为y=c-x ∵直线l交双曲线的渐近线于点P,且点P在第一象限 ∴为解得P(,) ∵△OFP的面积为,∴•c•=整理得a=3b ∴该双曲线的离心率为== 故选:C. 先设F点坐标,然后根据点斜式写出直线l方程,再与双曲线的渐近线联立,求出第一象限中的点P,根据三角形面积,求出a与b的关系,进而求出离心率. 本题考查了双曲线的一些性质,离心率、焦点坐标等,同时考查了直线方程和三角形面积公式.‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解:=+=+y=+y(-)=-y+(1+y), ∵=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合), ∴y∈(0,) 又=a+(1-a); ∴a=-y∈(-,0), 即p:a∈(-,0), 函数f′(x)=x2+3(3-a)x+9, 若f(x)无极值点,则f′(x)≥0恒成立, 即判别式△=9(3-a)2-36≤0, 得(a-3)2≤4, 即-2≤a-3≤2,得1≤a≤5,即q:1≤a≤5, 若p∧q为假,p∨q为真, 则p,q一个为真命题,一个为假命题, ‎ 若p真q假则,此时-<x<0 若p假q真,则得1≤a≤5, 综上-<x<0或1≤a≤5 则a的取值范围是(-,0)∪[1,5], 故选:B. 根据条件求出命题p,q为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行转化求解即可. 本题主要考查复合命题真假关系的应用,结合条件求出命题p,q为真命题的等价条件是解决本题的关键.‎ ‎12.【答案】B 【解析】‎ 解:令函数,∴, 当x>0时,f′(x)<,所以h′(x)<0, h(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数, 所以函数为偶函数. ∴h(x)在(-∞,0)上单调递增, 又f(1)=,f(2x)=2f(x), ∴,, . ∴⇔,即,所以,解之得. 故选:B. 构造函数,研究h(x)的奇偶性和单调性,利用单调性解不等式. 本题考查利用导数研究函数的单调性,利用单调性解函数不等式,属于中档题目.‎ ‎13.【答案】‎3‎‎10‎‎10‎ 【解析】‎ 解:设与直线y=3x-1平行的直线y=3x+c与曲线y=2ex+x相切于点(m,n), 则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值, ∴2em+1=3,3m+c=2em+m,解得m=0,c=2, ∴曲线的切线为y=3x+2, ‎ 由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=. 故答案为:. 设与直线y=3x-1平行的直线y=3x+c与曲线2ex+x相切与点(m,n),两平行线间的距离即为|PQ|的最小值,由相切函数平行线间的距离公式可得. 本题考查指数函数的导数,涉及切线问题,注意运用转化思想,属中档题.‎ ‎14.【答案】π‎4‎-2 【解析】‎ 解:sinxdx=(-cosx)=-2, dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积,即, 故则f(x)dx=sinxdx+dx=-2, 故答案为:-2. 由定积分基本定理及分段函数的应用得:sinxdx=(-cosx)=-2,dx的几何意义为第一象限的单位圆的面积,即,故则f(x)dx=sinxdx+dx=-2,得解. 本题考查了定积分基本定理及分段函数的应用,属中档题.‎ ‎15.【答案】f(π‎2‎)>f(2)>f(-3). 【解析】‎ 解:由f(-x)=f(x)知,函数f(x)为偶函数, 因此f(-3)=f(3). 又f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 当x∈(0,)时,f′(x)>0,x∈(,π)时,f′(x)<0, ∴f(x)在区间(,π)上是减函数, ∴f()>f(2)>f(3)=f(-3), 故答案为:f()>f(2)>f(-3). 由f(-x)=f(x)知,函数f(x)为偶函数,得f(-3)=f(3).又f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,从而f(x)在区间(,π)上是减函数,得f()>f(2)>f(3)=f(-3). 本题考察了函数的单调性,偶函数的定义,导数的应用,是一道基础题.‎ ‎16.【答案】5 【解析】‎ 解:∵函数f(x),g(x)满足, ∴ ∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x), ∴(ax)′<0 ∴(ax)′=axlna<0,∴0<a<1 ∵,∴a+= ∴a=或a=2(舍去) ∴有穷数列是以为首项,为公比的等比数列 ∵有穷数列的前n项和等于, ∴= ∴ ∴n=5 故答案为:5 根据函数商的导数公式确定a的范围,利用方程求得a值,从而可得有穷数列是以为首项,为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式,即可求得结论. 本题考查数列与函数的综合,考查导数知识的运用,确定有穷数列是以为首项,为公比的等比数列是关键.‎ ‎17.【答案】解:(1)由三角函数公式化简可得f(x)=cos2x+‎3‎sinxcosx =‎1+cos2x‎2‎+‎3‎‎2‎sin2x =sin(2x+π‎6‎)+‎1‎‎2‎, ∴f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π; (2)∵f(A)=sin(2A+π‎6‎)+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎, ∴sin(2A+π‎6‎)=1, ∵A∈(0,π),2A+π‎6‎∈(π‎6‎,‎13π‎6‎), ∴2A+π‎6‎=π‎2‎,解得A=π‎6‎, 又S△ABC=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎4‎bc=‎3‎, ‎ ‎∴bc=4‎3‎,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA, 代入数据可得32=b2+c2-2×4‎3‎×‎3‎‎2‎, 解得b2+c2=21. 【解析】‎ ‎ (1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x+)+,由周期公式可得; (2)由已知条件和(1)的结果可得A,再由面积公式整体可得bc,代入a2=b2+c2-2bccosA即可得解. 本题考查正、余弦定理解三角形,涉及三角函数的周期性和整体思想,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎18.【答案】解:(1)函数的定义域为(0,+∞),函数的导数f′(x)=e-ax, 若f(x)在x=‎1‎e处取得极小值, 则f′(‎1‎e)=e-a‎1‎e=e-ae=0,得a=1. (2)∵a=1,∴f(x)=ex-lnx, 若在区间[‎1‎e,e]内存在x0,使不等式f(x)<x+m成立, 即f(x)-x<m成立, 设h(x)=f(x)-x=ex-lnx-x, f(x)-x<m成立等价为m>h(x)min,即可. 函数的导数h′(x)=(e-1)-‎1‎x, 由h′(x)>0得(e-1)-‎1‎x>0,得‎1‎e-1‎<x≤e,此时函数h(x)为增函数 由h′(x)<0得(e-1)-‎1‎x<0,得‎1‎e<x<‎1‎e-1‎,此时函数h(x)为减函数, 即当x=‎1‎e-1‎时,h(x)取得极小值同时也是最小值h(‎1‎e-1‎)=(e-1)•‎1‎e-1‎-ln‎1‎e-1‎=1+ln(e-1), 即h(x)min=1+ln(e-1), 即m>1+ln(e-1), 即实数m的取值范围是(1+ln(e-1),+∞). 【解析】‎ ‎ (1)求函数的导数,结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可. (2)利用参数分离法,构造函数转化为求m>h(x)min,即可. 本题主要考查导数的应用,结合函数极值和导数之间的关系进行转化,以及构造函数,利用参法分离法转化为最值是解决本题的关键.‎ ‎19.【答案】 解:(1)证明:去BE中点G,连接CG、AG、FG, ∵AF=2,BE=4,AF∥BE,G为BE中点, ∴AF∥GE,AF=GE,AF∥GB,AF=GB,EF⊥BE. ∴四边形AFEG为矩形,四边形AFGB为平行四边形, ∴AG∥FE,FG∥AB,FG=AB, ∵AG不在平面DEF内,FE⊂平面DEF, 所以AG∥平面DEF, ∵四边形AFGB均为平行四边形, ∴FG∥AB,FG=AB,AB∥CD,AB=CD, ∴FG∥DC,FG=DC, ∴四边形CDFG为平行四边形. ∴CG∥DF,又∵DF⊂平面DEF,CG不在平面DEF内, 所以CG∥平面DEF,又因为AG∩FG=G, 所以平面ACG∥平面DEEF,AC⊂平面DEF. (2)过E做EO垂直于AB于O,以O为坐标原点,AB所在直线为y轴建立坐标系,设直线CE和平面DEF所成角为θ, 由(1)知AF=CE=2,AG⊥BE,BG=‎1‎‎2‎AB, ∴∠ABE=60°, 平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,OE⊂平面ABEF, ∴OE⊥平面ABCD, ∴OE=BEsin60°=2‎3‎, FA∥BE, 故F点坐标为(0,-3,0),D(2,-2,0),C(2,2,0). ∴CE=(-2,-2,2‎3‎),DF=(-2,-1,‎3‎),DE=(-2,2,2‎3‎), 设平面DEF的法向量n=(x,y,1) 则‎-2x-y+‎3‎=0‎‎-2x+2y+2‎3‎=0‎解得n=(‎2‎‎3‎‎3‎,‎-‎‎3‎‎3‎,1). ∴sinθ=|cos‎<n,‎CE>‎|=‎|-‎4‎‎3‎‎3‎+‎2‎‎3‎‎3‎+2‎3‎|‎‎4‎‎3‎‎+‎1‎‎3‎+1‎‎⋅‎‎4+4+12‎=‎10‎‎10‎. 【解析】‎ ‎ (1)找到BE中点G,连接CG、AG、FG,证明平面ACG∥平面DEF, (2)过E做EO垂直于AB于O,以O为坐标原点,AB所在直线为y轴建立坐标系,利用坐标运算求线面角的正弦值. 本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎20.【答案】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=px+2(p-1)x=‎2(p-1)x‎2‎+px, 当p>1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增; 当p≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)单调递减; ‎ 当0<p<1时,令f′(x)=0,解得x=‎-p‎2(p-1)‎. 则当0<x<‎-p‎2(p-1)‎时,f′(x)>0;x>‎-p‎2(p-1)‎,时,f′(x)<0. 故f(x)在(0,‎-p‎2(p-1)‎)单调递增,在(‎-p‎2(p-1)‎,+∞)单调递减; (2)因为x>0,所以当p=1时,f(x)≤kx恒成立, ⇔1+lnx≤kx⇔k‎≥‎‎1+lnxx, 令h(x)=‎1+lnxx,则k≥h(x)max, 因为h′(x)=‎-lnxx‎2‎,由h′(x)=0得x=1, 且当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0. 所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减. 所以h(x)max=h(1)=1, 故k≥1. 【解析】‎ ‎ (1)求出f(x)的导数,讨论当p>1时,当p≤0时,当0<p<1时,求出单调区间即可; (2)当p=1时,f(x)≤kx恒成立,⇔1+lnx≤kx⇔k,令h(x)=,则k≥h(x)max,运用导数求出单调区间,进而得到最大值即可. 本题考查导数的运用:求单调区间,判断单调性,求最值,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎21.【答案】解:(1)由题意可设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎(a>b>0). 则ca‎=‎‎1‎‎2‎b=‎‎3‎a‎2‎‎=b‎2‎+‎c‎2‎,解得a2=4,b2=3, ∴椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的半径R, 则△F1AB的周长=4a=8,S‎△F‎1‎AB‎=‎‎1‎‎2‎(|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R, 因此S‎△F‎1‎AB最大,R就最大, 由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1, 由x=my+1‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎,得(3m2+4)y2+6my-9=0, y‎1‎‎+y‎2‎=‎‎-6m‎3m‎2‎+4‎,y‎1‎y‎2‎‎=‎‎9‎‎3m‎2‎+4‎. 则S‎△F‎1‎AB‎=‎‎1‎‎2‎|F1F2|(y1-y2)=‎12‎m‎2‎‎+1‎‎3m‎2‎+4‎, 令m‎2‎‎+1‎‎=t,则m2=t2-1, ∴S‎△F‎1‎AB=‎12t‎3t‎2‎+1‎=‎12‎‎3t+‎‎1‎t, 令f(t)=3t+‎‎1‎t ‎,则f′(t)=3-‎1‎t‎2‎, 当t≥1时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有f(t)≥f(1)=4,S‎△F‎1‎AB≤3, 即当t=1,m=0时,S‎△F‎1‎AB≤3, 由S‎△F‎1‎AB=4R,得Rmax=‎3‎‎4‎,这时所求内切圆面积的最大值为‎9‎‎16‎π. 故直线l:x=1,△F1AB内切圆面积的最大值为‎9‎‎16‎π. 【解析】‎ ‎ (Ⅰ)设椭圆方程,由题意列关于a,b,c的方程组求解a,b,c的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的径R,则△F1AB的周长=4a=8,=(|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R,因此最大,R就最大.设直线l的方程为x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△F1AB的面积,利用换元法,借助于导数,即可求得结论. 本题考查椭圆的标准方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,分析得出三角形F1AB最大,R就最大是关键,是中档题.‎ ‎22.【答案】解:(1)令f(x)=lnx=‎1‎x,可得lnx-‎1‎x=0, 故函数f(x)有倒数点等价于方程lnx-‎1‎x=0有解, 令m(x)=lnx-‎1‎x(x>0),则m′(x)=‎1‎x+‎1‎x‎2‎>0, 故m(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵m(1)=-1<0,m(e)=1-‎1‎e>0, ∴m(x)在(1,e)上必存在一个零点,即方程lnx-‎1‎x=0有解, ∴f(x)有倒数点. ∵m(x)为单调递增函数,∴m(x)在(0,+∞)上只有1个零点, ∴f(x)只有1个倒数点. (2)∵xf(x)≤m[g(x)-x]在[1,+∞)上恒成立,即xlnx≤‎1‎‎2‎m(x2-1)在[1,+∞)上恒成立. 当x=1时,显然不等式恒成立, 当x≠1时,由xlnx≤‎1‎‎2‎m(x2-1)可得:m≥‎2xlnxx‎2‎‎-1‎(x>1), 令h(x)=‎2xlnxx‎2‎‎-1‎,则h′(x)=‎-2(x‎2‎lnx+lnx-x‎2‎+1)‎‎(x‎2‎-1‎‎)‎‎2‎, ‎ 令p(x)=x2lnx+lnx-x2+1,则p′(x)=2xlnx-x+‎1‎x,p″(x)=2lnx+1-‎1‎x‎2‎, ∵x>1,∴2lnx>0,1-‎1‎x‎2‎>0,∴p″(x)>0, ∴p′(x)在(1,+∞)上单调递增,故p′(x)>p′(1)=0, ∴p(x)在(1,+∞)上单调递增,故p(x)>p(1)=0, ∴h′(x)<0在(1,+∞)上恒成立, ∴h(x)在(1,+∞)单调递减,又当x→1时,h(x)→x→1‎lim‎2lnx+2‎‎2x=1, 故h(x)<1在(1,+∞)上恒成立. ∴m≥1. 【解析】‎ ‎ (1)令m(x)=f(x)-,判断m(x)的零点个数得出倒数点个数; (2)分离参数可得m≥(x>1),利用导数求出h(x)=的最大值,从而得出m的范围. 本题考查了函数零点的个数判断,函数单调性的判断与最值的计算,属于中档题.‎
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