2019届二轮复习解题技巧第2讲　概　率课件（51张）（全国通用）

2019届二轮复习解题技巧第2讲　概　率课件（51张）（全国通用）

第 2 讲　概　率 专题 三 　 概率与统计 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用 . 2 . 将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 古典概型的概率 热点一　古典概型和几何概 型 例 1 　 (1) 党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展 . 现有 4 名男生和 2 名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教 . 将这 6 名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排 2 名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为 解析 答案 √ 解析 　 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少 2 名毕业生， 每所学校男女毕业生至少安排一名共有 2 种情况 . 一是其中一个学校安排一女一男， 二是其中一个学校安排一女二男， 解答 (2) 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 是 AB 的中点，过 C ， M ， D 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是 解析 答案 √ 解析　 以 M 为原点， BA 所在直线为 y 轴， BA 的垂线为 x 轴，建立平面直角坐标系， (1) 解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识 . (2) 在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性 . (3) 当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 . 思维升华 跟踪演练 1 　 (1)(2017· 山东 ) 从分别标有 1,2 ， … ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 解析 答案 √ 解析 　方法一　 ∵ 9 张卡片中有 5 张奇数卡片， 4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， 解析 答案 √ 热点二　条件概率与相互独立事件 1. 条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率 2. 相互独立事件同时发生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 例 2 　 (1)(2018· 衡水调研 ) 电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡 ( 如图 ) ，每个灯泡断路的概率 是 ， 整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是 解析 答案 √ (2)(2018· 新余模拟 ) 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A ＝ “ 第一次取到的是奇数 ” ， B ＝ “ 第二次取到的是奇数 ” ，则 P ( B | A ) 等于 解析 答案 √ 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1) 求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 . (2) 注意辨别独立重复试验的基本特征： ① 在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； ② 在每次试验中，事件发生的概率相同 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (1) 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率 为 ， 两次闭合后都出现红灯的概率 为 ， 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 解析 答案 √ 解析　 设 “ 开关第一次闭合后出现红灯 ” 为事件 A ， “ 第二次闭合后出现红灯 ” 为事件 B ， (2) 如图， ABCD 是以 O 为圆心、半径为 2 的圆的内接正方形， EFGH 是正方形 ABCD 的内接正方形，且 E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 . 将一枚针随机掷到圆 O 内，用 M 表示事件 “ 针落在正方形 ABCD 内 ” ，用 N 表示事件 “ 针落在正方形 EFGH 内 ” ，则 P ( N | M ) 等于 解析 答案 √ 解析　 由题意得，圆 O 的半径为 2 ， 因为 E ， F ， G ， H 分别为 AB ， BC ， CD ， DA 的中点， 所以正方形 EFGH 的面积为 S 2 ＝ 2 2 ＝ 4 ， 1. 离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) p i ≥ 0( i ＝ 1,2 ， … ， n ) ； (2) p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1. 2. 独立重复试验、二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 为 p k (1 － p ) n － k ， k ＝ 0,1,2 ， … ， n . 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 P ( X ＝ k ) ＝ p k q n － k ，其中 0< p <1 ， p ＋ q ＝ 1 ， k ＝ 0,1,2 ， … ， n ，称 X 服从参数为 n ， p 的二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ，且 E ( X ) ＝ np ， D ( X ) ＝ np (1 － p ). 热点三　离散型随机变量的分布 列 3. 期望公式 E ( X ) ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x n p n . 4. 期望的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ aE ( X ) ＋ b ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np . 5. 方差公式 D ( X ) ＝ [ x 1 － E ( X )] 2 · p 1 ＋ [ x 2 － E ( X )] 2 · p 2 ＋ … ＋ [ x n － E ( X )] 2 · p n ，标准差 为 . 6. 方差的性质 (1) D ( aX ＋ b ) ＝ a 2 D ( X ) ； (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 D ( X ) ＝ np (1 － p ). 例 3 　 (2017· 全国 Ⅲ ) 某 超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ， 需求量为 500 瓶 ； 如果最高气温位于区间 [20,25) ， 需求量为 300 瓶 ； 如果最高气温低于 20 ， 需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据 ， 得到下面的频数分布表 ： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 解答 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位：瓶 ) 的分布列 ； 解　 由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500 ， 由表格数据知， 则 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 解答 (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n ( 单位：瓶 ) 为多少时， Y 的期望达到最大值？ 解　 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500. 当 300 ≤ n ≤ 500 时， 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温位于区间 [20,25) ，则 Y ＝ 6 × 300 ＋ 2( n － 300) － 4 n ＝ 1 200 － 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ， 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × 0.4 ＋ (1 200 － 2 n ) × 0.4 ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 640 － 0.4 n . 当 200 ≤ n <300 时， 若最高气温不低于 20 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ， 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × (0.4 ＋ 0.4) ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 160 ＋ 1.2 n . 所以当 n ＝ 300 时， Y 的期望达到最大值，最大值为 520 元 . 求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1) 求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率 . (2) 求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列 . 若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (2018· 永州模拟 ) 某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A ， B ， C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12 000,6 000,2 000 ，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表 ( 并以此估计赔付概率 ) ： 解答 已知 A ， B ， C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、 25 元、 40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、 100 万元、 50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元 . (1) 求保险公司在该业务所获利润的期望值； 解　 设工种 A ， B ， C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 X ， Y ， Z ，则 X ， Y ， Z 的分布列为 保险公司的期望收益为 保险公司的利润的期望值为 12 000 × E ( X ) ＋ 6 000 × E ( Y ) ＋ 2 000 × E ( Z ) － 100 000 ＝ 90 000 ， 故保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元 . 解答 (2) 现有如下两个方案供企业选择： 方案 1 ：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元； 方案 2 ：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70% ，职工个人负责保费的 30% ，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支 . 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议 . 方案 2 ：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为 解　 方案 1 ：企业不与保险公司合作 ， 则企业每年安全支出与固定开支共为 (12 000 × 25 ＋ 6 000 × 25 ＋ 2 000 × 40) × 0.7 ＝ 37.1 × 10 4 ( 元 ) ， 46 × 10 4 >37.1 × 10 4 ，故建议企业选择方案 2. 真题押题精练 真题体验 答案 解析 1.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张 卡片 上 的数的概率为 ___. 解析　 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图 ： 基本事件 总数为 25 ，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ， 2.(2017· 浙江改编 ) 已知随机变量 ξ i 满足 P ( ξ i ＝ 1) ＝ p i ， P ( ξ i ＝ 0) ＝ 1 － p i ， i ＝ 1,2. 若 0< p 1 < p 2 < ， 则 E ( ξ 1 )_____ E ( ξ 2 ) ， D ( ξ 1 )_____ D ( ξ 2 ).( 填 > ， < 或＝ ) < < 答案 解析 解析　 由题意可知 ξ i ( i ＝ 1,2) 服从两点分布， ∴ E ( ξ 1 ) ＝ p 1 ， E ( ξ 2 ) ＝ p 2 ， D ( ξ 1 ) ＝ p 1 (1 － p 1 ) ， D ( ξ 2 ) ＝ p 2 (1 － p 2 ) ， 把方差看作函数 y ＝ x (1 － x ) ， 3.(2018· 全国 Ⅲ 改编 ) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立 . 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D ( X ) ＝ 2.4 ， P ( X ＝ 4)< P ( X ＝ 6) ，则 p ＝ ________. 0.6 答案 解析 解析　 由题意可知， 10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布，即 X ～ B (10 ， p ) ， 所以 D ( X ) ＝ 10 p (1 － p ) ＝ 2.4 ， 所以 p ＝ 0.4 或 0.6. 又因为 P ( X ＝ 4)< P ( X ＝ 6) ， 押题预测 解析 押题依据 押题依据　 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注 . 1. 某校在 2016 年的中学数学挑战赛中有 1 000 人参加考试，数学考试成绩 ξ ～ N (90 ， σ 2 )( σ >0 ，试卷满分 150 分 ) ，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数 的 ， 则此次数学考试成绩不低于 110 分的考生人数约为 A.200 B.400 C.600 D.800 答案 √ 解析　 依题意得 P (70 ≤ ξ ≤ 110) ＝ 0.6 ， P ( ξ ≤ 110) ＝ 0.3 ＋ 0.5 ＝ 0.8 ， P ( ξ ≥ 110) ＝ 0.2 ， 于是此次数学考试成绩不低于 110 分的考生约 有 0.2 × 1 000 ＝ 200( 人 ). 2. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率 都是 . 质点 P 移 动 五次后位于点 (2,3) 的概率是 ____. 答案 解析 押题依据 押题依据 　二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点 . 解析　 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 (2,3) ，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次， 押题依据 　利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的期望 . 解答 押题依据 3. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多 . 某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费 2 元 ( 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 ). 有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游 ( 各租一车一次 ). 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别 为 两小时 以上且不超过三小时还车的概率 分别为 两 人租车时间都不会超过四小时 . (1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A ， 解答 (2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列与期望 E ( ξ ). 解　 ξ 的可能取值为 0,2,4,6,8. 故 ξ 的分布列为