高二数学人教A版选修4-5教案：3-2一般形式的柯西不等式x

高二数学人教A版选修4-5教案：3-2一般形式的柯西不等式x

‎3.2 一般形式的柯西不等式 一、教学目标 ‎1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．‎ ‎2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 ‎1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．‎ ‎2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．‎ 四、教学难点 ‎1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．‎ ‎2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．‎ ‎【解】　由柯西不等式得 ‎(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.‎ ‎∵x＋2y＋z＝1，‎ ‎∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.‎ 当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥‎ ‎.当且仅当 或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．‎ 教材整理2　一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 ‎(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、利用柯西不等式求最值 例1　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．‎ ‎【精彩点拨】　由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．‎ ‎【自主解答】　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴·(a＋2b＋3c)＝[＋＋][()2＋()2＋()2]‎ ‎≥ ‎＝(1＋2＋3)2＝36.‎ 又＋＋＝2，‎ ‎∴a＋2b＋3c≥18，‎ 当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，‎ 综上，当a＝b＝c＝3时，‎ a＋2b＋3c取得最小值18.‎ 规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．‎ ‎【解】　由柯西不等式，知 ‎(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)‎ ‎＝98(x2＋y2＋z2)．‎ 又x＋4y＋9z＝1，‎ ‎∴x2＋y2＋z2≥，(*)‎ 当且仅当x＝＝时，等号成立，‎ ‎∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．‎ 因此，x2＋y2＋z2的最小值为.‎ 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ 的取值范围．‎ ‎【精彩点拨】　“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．‎ ‎【自主解答】　∵x>0，y>0，z>0.‎ 且x＋y＋z＝xyz.‎ ‎∴＋＋＝1.‎ 又＋＋ ‎≤ ‎＝ ‎≤＝，‎ 当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝时等号成立．‎ ‎∴＋＋的最大值为.‎ 故＋＋≤λ恒成立时，‎ 应有λ≥.‎ 因此λ的取值范围是.‎ 规律总结：‎ 应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.‎ ‎【解】　由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，‎ 由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2，‎ ‎(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，‎ 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.‎ 由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，‎ 所以实数a的取值范围是[1,2]．‎ 题型三、利用柯西不等式证明不等式 例3　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.‎ ‎【精彩点拨】　对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．‎ ‎【自主解答】　∵a，b，c∈R＋，‎ 由柯西不等式，知 ＝[＋＋]×[＋＋]‎ ‎≥ ‎＝(1＋1＋1)2＝9，‎ ‎∴≥9.‎ 规律总结：‎ ‎1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.‎ ‎2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.‎ ‎【解】　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.‎ ‎（四）归纳小结 一般形式的柯西不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为(　　)‎ A．18 B．6 C．－18 D.12‎ ‎【解析】　|a·b|≤|a||b|，‎ ‎∴|a·b|≤18.‎ ‎∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.‎ ‎【答案】　C ‎2．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]‎ ‎【解析】　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，‎ ‎∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，‎ ‎∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，‎ 即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，‎ 当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；‎ 当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．‎ ‎【解析】　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.‎ ‎【答案】　 六、板书设计 ‎3.2 一般形式的柯西不等式 教材整理1　三维形式的柯西不等式 教材整理2　一般形式的柯西不等式 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教学反思