2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数学 试 卷（零班、奥赛班）

2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数学 试 卷（零班、奥赛班）

‎2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期期中考试数 学 试 卷（零班、奥赛班）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．给出下列关系式： ①； ②； ③； ④，其中正确关系式的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（　　）‎ A． B．﹣1 C．1 D．或1‎ ‎4．给出函数f（x），g（x）如表，则（　　）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ g（x）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．函数的零点所在的区间为(　　)‎ A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)‎ ‎6．实数+lg4+2lg5的值为（　　）‎ A．21 B．24 C．28 D．29‎ ‎7．已知函数在上单调递减， 则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎9．已知函数，则函数的最大值是（　　）‎ A．7 B．8 C．21 D．22‎ ‎10．已知正实数满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数的值域为，则的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知集合A={2，3}，则集合A的真子集的个数是______．‎ ‎14．已知对数函数的图象过点M（9，2），则=______________‎ ‎15．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，若f(m－1)+f(m)>0，则实数m的取值范围是________‎ ‎16．已知函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是___________.‎ 三．解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知集合，．‎ ‎(1)分别求，；‎ ‎(2)已知集合，若，求实数的取值集合．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知二次函数，若在区间上有最小值2，最大值5．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若在上是单调函数，求实数m的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 设函数为定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明在上的单调性.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足M＝，N＝a ‎+20．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．‎ ‎（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；‎ ‎（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数,函数．‎ ‎⑴若的定义域为,求实数的取值范围；‎ ‎⑵当,求函数的最小值；‎ ‎⑶是否存在实数,使得函数的定义域为,值域为？若存在,求出的值；若不存在,则说明理由．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)<1.‎ ‎(1)试判断f(x)在R上的单调性，并加以证明；‎ ‎(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2‎ ‎(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ 上饶中学高一年级期中考试数学参考答案 ‎（1-20班）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C C C D B D B C B A C A 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎ 13. 3 14. -1 ‎ ‎ 15. 16. ‎ 三．解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）‎ ‎17.解：(1)因为，，‎ 所以 ………………………………………2分 ‎，所以．……………………………5分 ‎(2)由(1)知，若，‎ 当C为空集时，. ………………………………………7分 当C为非空集合时，可得.‎ 综上所述. ………………………………………10分 ‎18.解：因为二次函数f(x)开口向上，对称轴方程为，‎ 所以函数f(x)在区间单调递增，‎ 所以 解得，.， ………………………………………6分 ‎（2）在上是单调函数，‎ 所以或 解之即得或. ………………………………………12分 ‎19.解：（1），‎ ‎ ………………………………………5分 ‎（2），在上为增函数………………………………………6分 证明：任意，且 ‎，在上为增函数.………12分 ‎20.解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：‎ f（25）＝4+25+＝88.5 （万元）；………………………4分 ‎（2）甲合作社的投入为x万元（l5≤x≤57），则乙合作社的投入为72﹣x万元，‎ 当15≤x≤36时，则36≤72﹣x≤57，‎ f（x）＝4+25+（72﹣x）+20＝﹣x+4+81．‎ 令t＝，得≤t≤6，‎ 则总收益为g（t）＝﹣t2+4t+81＝﹣（t﹣4）2+89，‎ 显然当t＝4时，函数取得最大值g（t）＝89＝f（16），‎ 即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、‎ 当36＜x≤57时，则15＜72﹣x≤36，‎ 则f（x）＝49+（72﹣x）+20＝﹣x+105，‎ 则f（x）在（36，57]上单调递减，‎ ‎∴f（x）＜f（36）＝87．‎ 即此时甲、乙总收益小于87万元．‎ 又89＞87，‎ ‎∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元．………………………………………12分 ‎21.解：（1）由题意对任意实数恒成立,‎ ‎∵时显然不满足 ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………4分 ‎（2）令,则 ‎∴ ………………………………………8分 ‎（3）∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ 函数在[,]单调递增,‎ ‎∴ 又∵ ‎ ‎∴ ， ………………………………………12分 ‎22.解：(1) (x)在R上为减函数.‎ 证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2， ‎ ‎∴x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)<1， ‎ ‎∴f(x2－x1)<1. ‎ f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1， ‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0⇒f(x1)>f(x2)， ‎ ‎∴f(x)在R上为减函数. ……………………………4分 ‎(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1， ‎ ‎∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1， ‎ f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4， ‎ ‎∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)， ‎ ‎∵f(x)在R上为减函数， ‎ ‎∴a2＋a－5>1⇒a＜－3或a>2，即a∈ …………………8分 ‎(3)法一：由题意得：，因为在R上为减函数.‎ ‎，即，‎ 令，则，即在上有解，‎ 设，因为 ，结合图像可知：‎ ‎，即，解得： ……………………………12分 法二：由题意得：，因为在R上为减函数.‎ ‎，即，‎ 令，则，在上有解，‎ ‎ ……………………………12分