数学理卷·2018届福建省南安第一中学高三上学期第二次阶段考试（2017

数学理卷·2018届福建省南安第一中学高三上学期第二次阶段考试（2017

南安一中2017～2018学年上学期高三年第二次阶段考 数学（理科）试卷 满分：１５０分，考试时间：１２０分钟 ‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题只有一项符合题目要求 ‎1.已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎2. “”是“表示椭圆”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知焦点在轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若函数的周期为,当时, 如果，则函数的所有零点之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，‎ 则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知等差数列的公差，且， ，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数的周期为，将函数的图像沿着y轴向上平移一个单位得到函数图像．设，对任意的恒成立，当取得最小值时，的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，， ，，则下列说法正确的有（ ）‎ ‎①的定义域为； ②设， ，则；‎ ‎③；④若集合，则中至少含有个元素．‎ A．个 B．个 C． 个 D．个 ‎ ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.设变量满足约束条件：，则的最大值是______．‎ ‎14.已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的体积为________． ‎ ‎15.在满足的两个实数之间插入三个实数，使这五个实数构成一个等差数列，则这个等差数列后三项和的最大值为__________． ‎ ‎16.如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：‎ ‎①；②；‎ ‎③；④‎ 其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）‎ 三．解答题：本大题共6小题，其中第22题、第23题10，其它各题都是12分，共70分。‎ ‎17.已知是递增的一次函数，且满足，若点在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18.已知椭圆C：的离心率为，过左焦点且垂直于轴的弦长为1． （I） 求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）点为椭圆C长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆C于A，B两 ‎ ‎ 点，问：是否为定值？若是，求出这个定值并证明，否则，请说明理由．‎ ‎19．在中，分别是角的对边，且.‎ ‎（I）求的大小;‎ ‎（II）若为的中点，且，求面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎20.四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，，点分别是线段的中点，点在上，且． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值； （Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，‎ 并写出作图的步骤．‎ ‎ 21.已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为，‎ ‎（Ⅰ）求直线被圆所截得的弦长；‎ ‎（Ⅱ）已知点，过的直线与圆所相交于不同的两点，求．‎ ‎23．（本小题满分10分）已知点在圆C：上，‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．‎ 南安一中2017～2018学年上学期高三年第二次阶段考 高三数学（理科）试卷参考答案 一、选择题：（5×12=60）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D B A D B B B D C C ‎11.【解析】因为，则，所以，所以，所以函数，所以，所以，；又，所以，，所以，所以，又，所以，所以取得最小值时，‎ ‎，所以的值是．故选C．‎ ‎12.【解析】①，当时， ，所以；当时， 成立，所以；当时， 成立，所以；因此定义域为；②;; ，因此;‎ ‎③因为，即,因此 ‎ ④由上可知为中元素，又 ，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C.‎ 二、填空题：（4×5=20） 13． 2 14． 15． 16．②③④‎ ‎16.【解析】‎ ‎ 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 的圆弧长组成，因此 ‎ 由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此 ‎ 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 半径为1 的圆弧长组成，因此 ‎ 由如图三段相同弧长组成，圆心角为 ，半径为 ，‎ 因此，‎ 因此选②③④‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（Ⅰ）由是递增的一次函数，可设， 即有，可得且，解得，即，由题意可得；……………5分 （Ⅱ）因为 即有前项和， 则， 相减可得，=‎ 化简可得前项和．……………12分 ‎18.解：（I）由过左焦点F且垂直于x轴的弦长为1， 可知椭圆C过点，∴又∵，；‎ 三式联立解得，∴椭圆的方程为.……………4分 （II）由于（且），由已知，直线的方程是 ‎， 由，消去得， 设，，则， 所以 ‎（定值）‎ 所以，为定值5．……………12分 ‎19.解（Ⅰ）由，得 ‎ ， ‎ ‎ 又 ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理得.‎ 在中，由余弦定理得 ‎ 二式相加得整理得 ‎ ‎ 所以的面积 当且仅当时“”成立. 的面积的最大值为. ……………12分 ‎ 20.证明：（Ⅰ）在△PBD中， ∵点F，G分别是线段PB，PD的中点， ∴FG∥BD， ∵BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG， ∴BD∥平面EFG．……………4分 解：（Ⅱ）∵底面ABCD是边长为2的菱形， ∴OA⊥OB， ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB， 如图，以O为原点，OA、OB、OP分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则 ‎∴，，， 设平面EFG的法向量为， 则，‎ 令，得 ‎∵‎ ‎∴直线AB与平面EFG的成角的正弦值为．‎ ‎……………8分 ‎（Ⅲ）法1：延长EF，EG分别交AB，AD延长线于M，N，连接MN，发现刚好过点C， 连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．………12分 法2：记平面EFG与直线PC的交点为H，设， 则 由=（-）•（-）=0，解得λ=1． 所以H即为点C．所以连接CG，CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线．………12分 ‎21.解：（Ⅰ） ，则.‎ 令得，所以在上单调递增.‎ 令得，所以在上单调递减. ………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.‎ 依题意， ， .‎ 于是与抛物线切于点，‎ 由得.‎ 所以 ………6分 ‎ ‎（Ⅲ）设,则恒成立.‎ 易得 ‎（1）当时，‎ 因为，所以此时在上单调递增.‎ ‎①若，则当时满足条件，此时；‎ ‎②若，取且 此时，所以不恒成立．‎ 不满足条件；‎ ‎（2）当时，‎ 令，得由，得；‎ 由，得 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 要使得“恒成立”，必须有 ‎“当时， ”成立.‎ 所以.则 令则 令，得由，得；‎ 由，得所以在上单调递增，在上单调递减,‎ 所以，当时， ‎ 从而，当时， 的最大值为.‎ 综上， 的最大值为.………12分 ‎22.【解析】（Ⅰ）将圆C的参数方程化为直角坐标系方程：，化为标准方程是，直线：．‎ 由，所以圆心，半径；‎ 所以圆心C到直线：的距离是；‎ 直线被圆C所截得的弦长为．………5分 ‎（Ⅱ）设直线的参数方程为，将其带入圆的方程，‎ 可得：，化简得：，‎ 所以，，‎ 所以．·………10分 ‎23.【解析】（Ⅰ），‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 所以的最小值为2．………5分 ‎（Ⅱ）存在．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，所以．‎ 从而有，‎ 因此存在，，满足．·………10分