数学文卷·2017届福建省高三4月单科质量检测（2017

数学文卷·2017届福建省高三4月单科质量检测（2017

‎2017年福建省单科质量检查 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，且是纯虚数，则实数（ ）‎ A． 1 B．2 C．-1 D．-2‎ ‎2.若公差为2的等差数列的前9项和为81，则（ ）‎ A．1 B．9 C． 17 D．19‎ ‎3. 函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎4.已知集合，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）‎ A．8 B．9 C. 10 D．11‎ ‎6. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的值为0，则的解析式可以是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．有极值 B．有零点 C. 是奇函数 D．是增函数 ‎9.如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）‎ A． B． C. 6 D．‎ ‎12. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.设向量，且的夹角为，则实数 ．‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎15.椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于 ．‎ ‎16.已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，且边上的中线长为，求的值.‎ ‎18.如图，三棱柱中，侧面侧面，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱柱的侧面积.‎ ‎19.某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.‎ ‎（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；‎ ‎（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）‎ ‎20. 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACACC 6-10: BDDBD 11、12：CD 二、填空题 ‎13. -1 14.2 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，所以由余弦定理可得，，‎ 化简得，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）‎ 由（1）得，，①‎ 又因为在中，，‎ 取中点，连结.‎ 因为，‎ 在中，，‎ 所以，②‎ 把①代入②，化简得，‎ 解得，或（舍去），所以.‎ ‎18.解：（1）‎ 取中点，连结.‎ ‎∵，∴为正三角形，∴，.‎ 又侧面侧面，平面平面，面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴，‎ 在中，∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴.‎ ‎（2）依题意：，‎ ‎，‎ 在平行四边形中，过作于点，‎ 过作于点，则为矩形，∴.‎ 由（1）知平面平面，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面平面，∴.‎ 又，‎ 在中，，，∴，‎ ‎∴.‎ 综上，三棱柱的侧面积为.‎ ‎19.解：（1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元.‎ 依题意得，当投入的资金不低于20万元，即时，，‎ 此时，是首项为1000，公比为的等比数列；‎ 是首项为40，公差为80的等差数列，‎ 所以，，‎ 令，得，解得，‎ 所以，，.‎ ‎（2）由（1）可知当时，总利润 ‎，‎ 所以，，‎ 因为为增函数，，‎ 所以，当时，；当时，，‎ 又因为，‎ 所以，当时，，即前6年未盈利，‎ 当时，，‎ 令，得.‎ 综上，预计该公司从第8年起开始盈利.‎ ‎20.解：（1）依题意得，即到直线的距离与到点的距离相等，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.‎ 设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是.‎ ‎（2）‎ 由题意可设直线，代入，得，‎ 设，则；‎ 又，设直线的斜率分别为，‎ 则，‎ 设，‎ 令，得，‎ 同理，得，‎ 从而；‎ ‎.‎ 又以为直径的圆的方程为：，‎ 即，即，‎ 令，解得或，‎ 从而以为直径的圆恒过定点和.‎ ‎21.解：（1）的定义域为，且，‎ ‎①当时，，此时的单调递减区间为.‎ ‎②当时，由，得；‎ 由，得.‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎③当时，由，得；‎ 由，得.‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（2）当时，要证：，‎ 只要证：，即证：.（）‎ 设，则，‎ 设，‎ 由（1）知在上单调递增，‎ 所以当时，，于是，所以在上单调递增，‎ 所以当时，（）式成立，‎ 故当时，.‎ ‎22.解：（1）因为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）‎ 不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.‎ 把代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 把，代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎23.解：（1）当时，不等式等价于不等式，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，不等式可化为，解得，这种情况无解.‎ 当时，不等式可化为，解得，所以.‎ 综上，当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：.‎ 所以不等式得证.‎