数学理卷·2018届河北省博野中学高二3月月考（2017-03）

数学理卷·2018届河北省博野中学高二3月月考（2017-03）

博野中学高二年级3月月考 数学理科试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（　　）‎ A．cosα B． sinα+cosα C．sinα D．2sinα ‎2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数有（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎3．过点的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎4.函数，则（ ）‎ A．在上递增 B．在上递减 C.在上递增 D．在上递减 ‎5.已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数f（x）=x2﹣2cosx，则f（0），f（﹣），f（）的大小关系是（　　）‎ A．f（0）＜f（﹣）＜f（） B．f（﹣）＜f（0）＜f（）‎ C．f（）＜f（﹣）＜f（0） D．f（0）＜f（）＜f（﹣）‎ ‎9．（ ）‎ A． B． C. D．0‎ ‎10.函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（ ）‎ A．2 B.4 C.1 D.‎ ‎12. 已知函数，正数满足，且，若实数是方程的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每小题5分，四题共20分。答案请写在答题卡上）‎ ‎13. =　　 ．‎ ‎14．由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 ．‎ ‎15.直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为 .‎ ‎16．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为　　．‎ 三、解答题( 共70分,17题10分，18-22各12分，解答时应按要求写出证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知x>1，证明x>ln(1＋x)．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值． ‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 已知函数，当时，有极大值1．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知函数 在处有极值1．‎ ‎（Ⅰ）求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间． ‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 已知函数,,为常数，是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）当时，证明恒成立；‎ ‎（Ⅱ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ （1） 求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于不同的两点，求及的值．‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）‎ ‎ （Ⅰ）求x0的值；‎ ‎ （Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．‎ 高二（理科）数学 参考答案 一、选择题（共12题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B D C D C A A B B A 二、填空题（共4题，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.【答案】证明　设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，‎ f′(x)＝1－＝，由x>1，知f′(x)>0.‎ ‎∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．‎ 又f(1)＝1－ln 2>0，‎ 即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．‎ ‎18．解： （Ⅰ）依题意可知：切线斜率 切线方程为：即 ‎（Ⅱ）令，得： ‎ 当变化时，，变化如下表 ‎-1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ……………11分 的极大值为，极小值为 ……………12分 ‎18.（本题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）由条件得 .‎ 因为 在处有极值1，‎ 得，即解得， …………………5分 经验证满足题意. …………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，定义域是 ‎ ‎ 由，得；，得. …………………10分 所以函数的单调减区间是，单调增区间是 …………………12‎ ‎19. （本题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：是的中点，故． …………1分 因为,，所以 ‎ 所以即 …………3分 因为四边形为矩形，所以,‎ 又，所以． …………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则 …………6分 从而 设平面的法向量，由，得， ‎ 同理可求得平面的法向量， …………10分 设的夹角为，则， …………11分 由于二面角为钝二面角，则余弦值为 …………12分 ‎23. 解：（Ⅰ）不等式转化为或，‎ 解得x＞2，∴x0=2；‎ ‎（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，‎ ‎∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，‎ ‎∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2．解得m=1‎ ‎20. （本题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，，‎ 由得，故的单调递增区间为；‎ 得，故的单调递减区间为；‎ 所以函数有最小值为，所以恒成立． …………5分 ‎（Ⅱ）解法一: 当时原不等式恒成立，所以 …………6分 当时，不等式化简为 因为，所以 …………11分 又，所以 …………12分 解法二：可得． ‎ ① 当时，．‎ 此时在区间上单调递增．故，符合题意．…………8分 ‎② 当时，．当变化时的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由此可得，在区间上，．‎ 依题意又所以． …………11分 由①②得，实数的取值范围是． …………12分 ‎21．（本题满分分）‎ 解：（Ⅰ）把点代入抛物线方程得 ‎ 所以曲线的方程为. ……………3分 ‎（Ⅱ）显然直线，的斜率存在且不等于，‎ 不妨设的方程为，，，‎ 由得，‎ 由韦达定理得：，， ……………5分 因为曲线与交于点,且过焦点，‎ 所以 ， ……………7分 同理可得， ……………8分 所以. ……………9分 ‎（Ⅲ）若，是过椭圆的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆与交于点,,与交于点,，则. ……………………12分 说明:（只写出定值，没有指出定值为扣1分）‎ ‎22. （本题满分分）‎ 解：（Ⅰ）∵（）‎ ‎∴当时，，单调递增区间为，没有单调递减区间；……………2分 当时，时，时，‎ ‎∴单调递增区间为，单调递减区间为．………………4分 ‎（Ⅱ）设在区间上的值域为A，在上的值域为B，‎ 则依题意 ……………5分 易知在上递增，在上递减，， ‎ ‎ ∴ ………………6分 ‎①当时，在上单调递增，，，‎ ‎∴，得∴‎ ‎②当时，在上单调递减，‎ 得∴‎ ‎③当时，在上单调递增，可得 ‎④当时，在上 ‎，，这时 ‎ 综上，实数的取值范围为 ………………………12分