陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二数学(理)‎ 一、选择题(共12小题;共60分)‎ ‎1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(  )‎ A. (0,1) B. (1,0) C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准形式,即可得到焦点坐标.‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为,即,开口向上,焦点在轴的正半轴上,‎ 故焦点坐标为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程,把抛物线方程化为标准形式是解题的关键,属于基础题.‎ ‎2.已知,且,则x=( )‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. -4 D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行,坐标对应成比例可求得x.‎ ‎【详解】由题意可知,因为,所以,所以x=-4,选C.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系,两向量平行,坐标对应成比例.‎ ‎3.给出下列命题:‎ ‎①若空间向量满足,则;‎ ‎②空间任意两个单位向量必相等;‎ ‎③对于非零向量,由,则;‎ ‎④在向量的数量积运算中.‎ 其中假命题的个数是( )‎ A 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量的性质,对四个命题逐个分析,可选出答案.‎ ‎【详解】对于①,空间向量的方向不一定相同,即不一定成立,故①错误;‎ 对于②,单位向量的方向不一定相同,故②错误;‎ 对于③,取,,,满足,且,但是,故③错误;‎ 对于④,因为和都是常数,所以和表示两个向量,若和方向不同,则和不相等,故④错误.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的概念与性质,考查向量的数量积,考查学生的推理论证能力,属于基础题.‎ ‎4.下列命题,正确的是( )‎ A. 命题“,使得”的否定是“,均有”‎ B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”,该命题是假命题 C. 命题“若,则”的逆否命题是真命题 D. 命题“若,则”的否命题是“若,则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于选项A,正确的是“ 均有”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B错;‎ ‎ 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.‎ 点睛:本题以命题真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答. ‎ ‎5.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于,两点,如果,那么( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据抛物线的定义,可以求出点A,B到准线距离,即可求得的长.‎ ‎【详解】抛物线的准线方程是,所以,‎ ‎,,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法.‎ ‎6.设是非零向量,则“存在实数,使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】存在实数,使得,‎ 说明向量共线,当同向时,成立,‎ 当反向时,不成立,所以,充分性不成立.‎ 当成立时,有同向,存在实数,使得成立,必要性成立,‎ 即“存在实数,使得”是“”的必要而不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件,向量的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.椭圆的焦距为4,则m等于( )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 4或8 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分焦点在轴上和轴上两种情况讨论,分别求出、的表达式,结合可求出答案.‎ ‎【详解】因为为椭圆,所以,即,‎ 若椭圆的焦点在轴上,则,,故,解得,符合题意;‎ 若椭圆的焦点在轴上,则,,故,解得,符合题意.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,考查学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎8.(2016新课标全国Ⅱ理科)已知F1,F2是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,M F1与轴垂直,sin ,则E的离心率为 A. B. ‎ C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由已知可得,故选A.‎ 考点:1、双曲线及其方程;2、双曲线的离心率.‎ ‎【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.,涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型. 由已知可得,利用双曲线的定义和双曲线的通径公式,可以降低计算量,提高解题速度.‎ ‎9.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(  )‎ A. (1,0,-2) B. (1,0,2)‎ C. (-1,0,2) D. (2,0,-1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用⊥,⊥⇔.即可得出.‎ ‎【详解】∵,,.‎ ‎∵⊥,⊥,∴.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴P(-1,0,2) .‎ 故选C .‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知是椭圆的两焦点,P是椭圆上任意一点,过一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为Q,则动点Q的轨迹为( ▲ )‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】不妨设过焦点引的外角平分线的垂线,垂足为Q,延长F1Q交F2P与M点,连OQ,则,所以动点Q的轨迹为圆,选A.‎ ‎11.如图所示,直三棱柱的侧棱长为,底面边长,且,点在棱上且,点在棱上,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题易知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,设,可知,进而可得的坐标,然后求得的表达式,求出最小值即可.‎ ‎【详解】由题意可知,两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,设,则,‎ 所以,,‎ 则,‎ 当时,取得最小值.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用,考查向量的坐标运算,考查学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:设是椭圆的左焦点,由于直线过原点,因此两点关于原点对称,从而是平行四边形,所以,即,,设,则,所以,,即,又,所以,.故选A.‎ 考点:椭圆的几何性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围,因此要求得 关系或范围,解题的关键是利用对称性得出就是,从而得,于是只有由点到直线的距离得出的范围,就得出的取值范围,从而得出结论.在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时,需要联想到椭圆的定义.‎ 二、填空题(共4小题;共20分)‎ ‎13.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数t=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四点共面的充要条件即可求出t的值.‎ ‎【详解】P,A,B,C四点共面,且,‎ ‎,解得.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查四点共面,掌握向量共面的充要条件是解题的关键,属于基础题.‎ ‎14.设是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,,利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件,可得,解得,从而可得结果.‎ ‎【详解】椭圆,‎ 可得,设,,‎ 可得,‎ 化简可得:,‎ ‎,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.‎ ‎15.如图,二面角等于,、是棱上两点,、分别在半平面、内,,,且,则的长等于______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,由,结合向量数量积的运算,即可求出CD的长.‎ ‎【详解】∵A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,‎ 又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°,且AB=AC=BD=1,‎ ‎∴,60°,‎ ‎∴‎ 故答案为2.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题,其中利用,结合向量数量积的运算,是解答本题的关键.‎ ‎16.已知双曲线的左右焦点分别为,,实轴长为6,渐近线方程为,动点在双曲线左支上,点为圆上一点,则的最小值为_______‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的,,可得双曲线方程,求得焦点坐标,运用双曲线的定义和三点共线取得最小值,连接,交双曲线于,圆于,计算可得所求最小值.‎ ‎【详解】解:由题意可得,即,‎ 渐近线方程为,即有,‎ 即,可得双曲线方程为,‎ 焦点为,,,,,‎ 由双曲线的定义可得,‎ 由圆可得,半径,‎ ‎,‎ 连接,交双曲线于,圆于,‎ 可得取得最小值,且为,‎ 则则的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查圆的方程的运用,以及三点共线取得最值,考查数形结合思想和运算能力,属于中档题.‎ 三、解答题(共12小题;共70分)‎ ‎17.根据下列条件求曲线的标准方程:‎ ‎(1)准线方程为的抛物线;‎ ‎(2)焦点在坐标轴上,且过点、的双曲线.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设抛物线的标准方程为,利用准线方程为,可求出的值,即可求出抛物线的标准方程;‎ ‎(2)设所求双曲线的方程为,将点、代入方程,可求出,进而可求出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】(1)设抛物线的标准方程为.‎ 其准线方程为,所以有,故.‎ 因此抛物线的标准方程为.‎ ‎(2)设所求双曲线的方程为,‎ 因为点、在双曲线上,所以点的坐标满足方程,‎ 由此得,解得,‎ 因此所求双曲线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与双曲线的标准方程的求法,考查学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎18.如图,在正方体中,为棱的中点.求证: ‎ ‎(1)平面;‎ ‎(2)平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量,通过证明,可得出平面;‎ ‎(2)结合(1),平面的法向量是,然后求出平面的法向量,进而可证明,从而可知平面平面.‎ ‎【详解】(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,,,,,,‎ 所以,,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得.‎ 因为,所以,所以平面;‎ ‎(2)设平面AEC的法向量,‎ 则,取,得,‎ ‎,‎ 平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明,利用空间向量法是解决本题的较好方法,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于基础题.‎ ‎19.如图,在直三棱柱中,已知,,且,M是的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)设AC与平面的夹角为,求.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)易知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面的法向量,从而可证明,又平面,即可证明平面;‎ ‎(2)由(1)可得及平面的法向量为,设和的夹角为,可得,求解即可.‎ ‎【详解】(1)由题易知,两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,‎ 是的中点,.‎ 由此可得,,,,‎ 设向量为平面的一个法向量,‎ 则,‎ 取,得,,为平面的一个法向量.‎ ‎,,‎ 平面,平面.‎ ‎(2),平面的一个法向量为,‎ AC与平面的夹角为,设和的夹角为,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的求法,利用空间向量法是解决本题的较好方法,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于中档题.‎ ‎20.一个圆经过点,且和直线相切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程;‎ ‎(2)已知点,设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点,若轴是的角平分线,证明直线过定点.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)圆心到定点与到定直线的距离相等,可知圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线,求出方程即可;‎ ‎(2)易知直线斜率存在且不为零,可设直线,设,,联立直线与抛物线方程,可得关于的一元二次方程,由轴是的角平分线,可得,整理可求得,再结合韦达定理,从而可求得的值,进而可求得直线过定点.‎ ‎【详解】(1)由题意,圆心到定点与到定直线的距离相等,‎ 根据抛物线的定义可知,圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线,其方程为.‎ ‎(2)由题可知,直线与C有两个交点且不垂于于轴,‎ 所以直线斜率存在且不为零,设直线,,,‎ 联立,可得,‎ 则,且,,‎ 又,,轴是的角平分线,‎ 所以,整理可得,‎ 所以,即,此时满足,故:,‎ 所以,直线PQ过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查直线恒过定点问题,考查学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎21.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值;‎ ‎(3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 在线段EC上存在点P,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)推导出,从而平面ABCD,由此能证明.‎ ‎(2)推导出,,从而MB、MC、ME两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.‎ ‎(3)求出和平面ABE的法向量,利用向量法能示出在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,且.‎ ‎【详解】证明:Ⅰ,M是AB的中点,,‎ 平面平面ABCD,‎ 平面平面,平面ABE,‎ 平面ABCD,平面ABCD,‎ 解:(2) 平面ABCD,,是正三角形,‎ ‎、MC、ME两两垂直.‎ 建立如图所示空间直角坐标系 则0,,0,,0,,,0,,‎ ‎,0,,‎ 设y,是平面BCE的一个法向量,‎ 则,‎ 令,得,‎ 轴与平面ABE垂直,1,是平面ABE一个法向量 ‎,‎ 二面角的余弦值为 ‎(3)假设在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为.‎ ‎0,,,‎ 设,,‎ 则,‎ 直线AP与平面ABE所成的角为,‎ ‎,‎ 由,解得,‎ 在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为,且 ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,考查创新意识、应用意识,是中档题.‎ ‎22.已知是椭圆:左焦点,O为坐标原点,为椭圆上的点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若点都在椭圆上,且中点在线段(不包括端点)上,求面积的最大值,及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)面积的最大值为1,  此时直线的方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)依题意可得,求出,即可得到椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设,,,易知直线AB的斜率存在,设为k,将两点坐标分别代入椭圆方程,所得两式相减,可得到,进而可求出k的值,从而设出直线的方程,并与椭圆方程联立,得到关于 的一元二次方程,分别表示出弦长及点O到直线AB的距离,从而可求得面积的表达式,进而求出最大值,并求得此时直线的方程.‎ ‎【详解】(1)依题意可得,‎ 即,解得,则.‎ 故椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)设,,,‎ 依题意可知,直线AB的斜率存在,设为k,‎ 则,所以,‎ 即,‎ 又,,,所以,‎ 又直线OP:,M在线段OP上,所以,所以.‎ 设直线AB的方程为,‎ 联立方程,可得,‎ ‎,,, ‎ 且,即,解得,‎ 所以,‎ ‎,‎ 又点O到直线AB的距离,‎ 所以,‎ 当且仅当,即舍去时,等号成立,此时直线方程为.‎ 所以面积的最大值为1,此时直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查学生的计算求解能力,属于难题.‎ ‎ ‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档