数学理卷·2018届四川省南充市高三联合诊断考试（三诊）（2018

数学理卷·2018届四川省南充市高三联合诊断考试（三诊）（2018

‎2018届四川省南充市高三三诊联合诊断考试 数学理科 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）‎ A．10 B．-10 C． D．‎ ‎3. 已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 如图,正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列 说法正确的是（ ）‎ A．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B．，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 ‎ C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D．，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 ‎6. 执行如图所示的程序框图,输出的值为 A．3 B．-6 C.10 D．-15‎ ‎7. 直线过点且与圆交于，两点，如果，那么直线的方程为（ ）‎ A． B．或 ‎ C. D．或 ‎8. 已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（ ）‎ A． 5 B． 6 C. 7 D．8‎ ‎9. 已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 在中，角,,所对的边分别为，且，，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式 对任意恒成立，则实数的取值范是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为 ．‎ ‎14. 若实数，满足且的最小值为3，则 ．‎ ‎15. 在中，，，边上的中线，则的面积为 ．‎ ‎16.已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：‎ ‎①已知，，则；‎ ‎②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；‎ ‎③已知，，则；‎ ‎④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为 ．(写出所有真命题的序号)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知是等比数列，，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列前项的和.‎ ‎18.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值 为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，‎ 并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)‎ 配方的频数分配表 指标值分组 频数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ 配方的频数分配表 指标值分组 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？‎ ‎19.如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.‎ ‎（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的 焦点，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.‎ ‎①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.‎ ‎②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.‎ ‎21.已知函数，其中，为参数，且.‎ ‎（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值.‎ ‎（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围.‎ ‎（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函 数，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，且，证明：.‎ 四川高三联合诊断考试 数学试题(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5: CBADD 6-10: CDBBA 11、12：CA 二、填空题 ‎13. -21 14. 15. 16.②③ ‎ 三、解答题 ‎17.解:（Ⅰ）设数列公比为，则，，因为成等差数列，‎ 所以，即，‎ 整理得，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以 ‎18.解：（Ⅰ）由题意知，从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）配方立品的利润分布列为 ‎0.6‎ ‎0.4‎ 所以 配方产品的利润分布列为 ‎0.7‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ 所以，因为，所以 所以投资配方产品的平均利润率较大.‎ ‎19.（Ⅰ）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连结，在四边形中，，，所以.‎ 折起后，，‎ 又平面平面，平面平面，所以平面.‎ 又平面，所以，所以，，，‎ 因为，，所以平面平面，因为平面，所以平面.‎ 所以在存在一点，且，使平面.‎ ‎（Ⅱ）设，所以，，‎ 故 所以当时，取是最大值.‎ 由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，所以，，，，设平面的法向量，‎ 则即 令，则，，则，‎ 设平面的法向量，‎ 则即 令，则，，则 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解:（Ⅰ）因为抛物线方程，所以抛物线焦点为 所以又，‎ 所以，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）①设，，‎ 设直线的方程为 联立消，得 又在直线两侧的动点，所以.‎ 所以，.‎ 又，‎ 所以 当时，四边形面积取得最大值为.‎ ‎②当时，，斜率之和为.‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为.‎ 设的方程为，联立,‎ 消得，，‎ 所以，‎ 同理.‎ 所以 所以.‎ 所以的斜率为定值 ‎21.解:（Ⅰ）当时，，，所以，所以无极值.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 设，得，‎ 由（Ⅰ），只需分下面两情况讨论：‎ ‎①当时 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以当时，取得极小值，‎ 极小值，‎ 要使则有，‎ 所以，‎ 因为，故或；‎ ‎②当时，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以当时，取得极小值.‎ 极小值 若，则，矛盾.‎ 所以当时，的极小值不会大于零.‎ 综上所述，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围是：‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数在区间与内都是增函数，由题设，函数在内是增函数，则或 由（Ⅱ）参数时要使恒成立，必有 即且 综上：或.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎22.解:（Ⅰ）因为，所以 所以，即曲线的直角坐标方程为： ‎ 直线的参数方程(为参数)‎ 即 (为参数)‎ ‎ （Ⅱ）设点对应的参数分别为，‎ 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 整理，得，所以 因为，，‎ 所以.‎ ‎23.（Ⅰ）解：‎ 当时，，；‎ 当时，，，无解；‎ 当时，，.‎ 综上,不等式的解集为：‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎.‎ 因为，所以，所以，.‎