数学卷·2018届福建省南安市侨光中学高二上学期第一次阶段考试文数试题（解析版）

数学卷·2018届福建省南安市侨光中学高二上学期第一次阶段考试文数试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！第Ⅰ卷（共70分）‎ 一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由可设，代入不等式中检验可知A正确 考点：不等式性质 ‎2.已知角的终边经过点（3，4），则（ ）‎ A. B. C. 7 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数定义可知 考点：同角间三角函数关系 ‎3.等比数列中，，是方程的两根，则等于(　 　)‎ A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由方程根与系数的关系可知 考点：等比数列性质 ‎4.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A.2 B. 1 C. －2 D. －1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，由与垂直可知 考点：向量垂直与坐标运算 ‎5.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） ‎ A. ,B. ‎ C. ,D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由图像可知A=2，，代入点得 考点：三角函数图像及解析式 ‎6.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝ (　 　)．‎ A．－8 B．8 C．－4 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数定义可知 考点：三角函数定义 ‎7.已知平面向量,的夹角为60°,,,则（　 　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：向量的模 ‎8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，‎ q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 (　 　)．‎ A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由p∥q可得 考点：向量共线及余弦定理 ‎9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（　 　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，三角形为直角三角形 考点：正余弦定理解三角形 ‎10.若不等式的解集为，则的值是（ ）‎ A． B．10 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由不等式的解集为可得方程 考点：三个二次关系 ‎11.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　 　）‎ A． B．0 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：平移后的函数为为偶函数，‎ 考点：三角函数图像平移和奇偶性 ‎12.在等差数列中，，则的值为（ ）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：等差数列性质及通项公式 ‎13.已知的最大值为，若存在实数,使得对任意实数总有成立，则的最小值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎=sin2015xcos+cos2015xsin+cos2015xcos+sin2015xsin ‎=sin2015x+cos2015x+cos2015x+sin2015x ‎=sin2015x+cos2015x ‎=2sin（2015x+），‎ ‎∴f（x） 的最大值为A=2；‎ 由题意得，的最小值为，‎ ‎∴的最小值为 考点：三角函数的最值 ‎14.等比数列中，公比，记（即表示数列 的前n项之积），则中值最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：等比数列中＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，‎ ‎∴＜0，＜0，＞0，＞0，‎ ‎∵=＞1，‎ ‎∴＞．所以最大值为 考点：等比数列的性质 第Ⅱ卷（共80分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎15.数列= 。‎ ‎【答案】320‎ ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，公差为1，第三项为 考点：等差数列 ‎16.在菱形中，，，为的中点，则的值是 ．‎ ‎【答案】5‎ 考点：平面向量数量积的运算 ‎17.对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：‎ ‎ 仿此，若的“分裂”数中有一个是， 则的值为 ________ . ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，‎ 设m3的“分裂”数中第一个数为am，‎ 则由题意可得a3-a2=7-3=4=2×2，‎ a4-a3=13-7=6=2×3，‎ ‎…am-am-1=2（m-1），‎ 以上m-2个式子相加可得am-a2= =（m+1）（m-2），‎ ‎∴am=a2+（m+1）（m-2）=m2-m+1，‎ ‎∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个 考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性 ‎18.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为 ．‎ ‎【答案】(30＋30)m ‎【解析】‎ 试题分析：设树的高度为，由仰角45°可知B到树的距离为h，由仰角为30°可知A到树的距离为 考点：解三角形的应用 三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{an}中，其前项和（其中为常数），‎ ‎(1)求{}的通项公式；‎ ‎(2)设是公比为等比数列，求数列{}的前n项和 ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ 考点：数列的求和；等差数列的通项公式 ‎20.（本小题满分12分）‎ 设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b(cosA－3cosC)＝(3c－a)cosB.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若cosB＝，且△ABC的周长为14，求b的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）由b（cosA-3cosC）=（3c-a）cosB．利用正弦定理可得：．化简整理即可得出．（II）由得c=3a．利用余弦定理及cosB=即可得出 试题解析：(1)由正弦定理得，‎ ‎(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)cosB，‎ 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 5分 又A＋B＋C＝π，‎ 所以sinC＝3sinA，因此＝. 6分 ‎(2)由＝得c＝3a，‎ 由余弦定理及cosB＝得 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－6a2×＝9a2. 10分 所以b＝3a.又a＋b＋c＝14，‎ 从而a＝2，因此b＝6. 12分 考点：余弦定理；正弦定理 ‎21.（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）设，是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值。‎ ‎【答案】（1）（2）5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当n≥2时，根据求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得．（2）根据（1）中求得利用裂项法求得Tn，进而根据，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数 试题解析：⑴依题意，，故， 1分 当时， ①‎ 又 ② ‎ ‎②―①整理得：，故为等比数列，‎ 所以，5分 ‎⑵由⑴知，，， 6分 ‎ ‎ ‎= 9分 ‎，依题意有，解得， 11分 故所求最大正整数的值为。 12分 考点：数列求通项公式及求和 ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在四边形中， =，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求△的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=，利用正弦定理求解AB的长 试题解析：（Ⅰ） ………………………2分 因为，所以，…………………………4分 所以△ACD的面积．………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：在△ACD中，，‎ 所以．……………………………………………………8分 ‎ 在△ABC中，……………10分 ‎ 把已知条件代入并化简得：因为，所以 ……12分 解法二：在△ACD中，在△ACD中，，‎ 所以．…………………………………………………………8分 因为，，所以 ，………10分 得．…………………………………………………………………………12分 考点：余弦定理；正弦定理 ‎23.（本小题满分12分）‎ 已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）将已知条件转化为首项和公比表示，通过解方程得到基本量，从而确定通项为；（Ⅱ）由数列的通项公式得数列的通项，结合特点采用错位相减法求和 试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，‎ 因为，所以，．…………………………………………1分 因为是和的等差中项，所以．……………………2分 即，化简得．‎ 因为公比，所以．………………………………………………………4分 所以（）．…………………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为，所以．‎ 所以．……………………………………………………………7分 则， ①‎ ‎. ②………………9分 ‎①－②得，‎ ‎……………………………………10分 ‎，‎ 所以．……………………………………………………………12分 考点：数列求通项与求和 ‎ ‎