2017-2018学年安徽省宿州市五校高二上学期期末联考数学理试题（解析版）

2017-2018学年安徽省宿州市五校高二上学期期末联考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省宿州市五校高二上学期期末联考数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 过两点的直线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知直线AB的斜率为，‎ 所以，‎ 解得．选C．‎ ‎2. “”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A．‎ 考点：充分必要条件的判断．‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题． 对于命题“若,则 ‎3. 直三棱柱中，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要表示向量，只需要用给出的基底表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．‎ 解答：解：=‎ ‎=-‎ 故选D．‎ ‎4. 椭圆的焦距是2，则的值是（ ）‎ A. 9 B. 12或4 C. 9或7 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，解得；‎ ‎②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，解得．‎ 综上可得或．‎ 选C．‎ 点睛：解答本题时注意两点：‎ ‎（1）由于椭圆的焦点位置不确定，因此解题时需要分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，分别求出m的值；‎ ‎（2）解题时要读懂题意，其中“焦距为2”的意思是，容易常误认为是，这是在解题时常犯的错误，要特别注意．‎ ‎5. 下列曲线中离心率为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，选B.‎ 视频 ‎6. 过点且平行于直线的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可设所求的直线方程为x−2y+c=0‎ ‎∵过点(−1,3)‎ 代入可得−1−6+c=0则c=7‎ ‎∴x−2y+7=0‎ 故选A.‎ ‎7. 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，双曲线的焦距为，即，又双曲线的渐近线方程为 ，点在的渐近线上，所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为．‎ 考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．‎ 视频 ‎8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合几何体的特征和三视图的定义可得该几何体的侧视图如选项D所示.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．‎ ‎9. 正方体中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ 设正方体的棱长为2，则，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以直线与所成角的余弦值是．选C．‎ 点睛：用向量法求异面直线所成角的步骤 ‎①根据题意建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标及相关向量的坐标；‎ ‎②用数量积求出两个向量的夹角的余弦值；‎ ‎③根据两异面直线所成角的范围得到结果．‎ 注意：两向量的夹角不一定就是两异面直线所成的角．‎ ‎10. 设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线，所以该球的表面积，故选B ‎11. 设是橢圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为 的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有 所以，所以 又因为，所以，，所以 所以答案选C.‎ 考点：椭圆的简单几何性质.‎ 视频 ‎12. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵抛物线C的方程为∴，可得，得焦点 设P（m，n），根据抛物线的定义，得|PF|=m+=，即，解得 ‎∵点P在抛物线C上，得∴∵|OF|=‎ ‎∴△POF的面积为 考点：抛物线的简单性质 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题“存在实数，使”的否定是__________．‎ ‎【答案】任意实数 ‎【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的，都有 考点：特称命题与全称命题 ‎14. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以,‎ 所以．‎ 答案：‎ ‎15. 已知空间三点，若，且分别与垂直，则向量__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意得，‎ 设，‎ 则，解得或．‎ 所以或．‎ 答案：或 ‎16. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为椭圆过抛物线焦点为(2,0),并且焦点为 所以a=2,.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知直线的倾斜角为且经过点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎(2)求点关于直线的对称点的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）先求得直线的斜率，再用点斜式可得直线的方程．（2）设出点的坐标，根据直线垂直平分线段得到关于的方程组，解方程组得到的值后可得点的坐标．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即.‎ ‎（2）设点，‎ 由题意得 ‎ 解得．‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎18. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点， 抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程.‎ ‎【答案】抛物线方程为；双曲线方程为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可设抛物线的方程为，由点在抛物线上可得，故抛物线方程为 ‎．根据双曲线的焦点在抛物线的准线上可得，从而．再由点在双曲线上可得，由两式可得，故可得双曲线的方程．‎ 试题解析：‎ 依题意设抛物线方程为，‎ ‎∵点在抛物线上，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴所求抛物线方程为.‎ 故抛物线的准线方程为，‎ ‎∵双曲线左焦点在抛物线的准线上， ‎ ‎∴，‎ 故，‎ 又点在双曲线上，‎ ‎∴，‎ 由 解得.‎ ‎∴所求双曲线方程为.‎ ‎19. 如图，在梯形中，，平面，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，求证：平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先证，结合，利用线面垂直的判定定理证明平面；（2）先证为等腰直角三角形，结合为中点，得到，根据得，利用线面平行的判定定理证明平面.‎ 试题解析：（1）证明：∵平面，平面，∴又∵，而，所以面 ‎20. 已知圆，直线.‎ ‎（1）求证：对任意，直线与圆总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设与圆交于两点，若，求的倾斜角.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）先证明直线恒过定点，再证明点P在圆内即可．（2）将直线方程与圆方程联立消元后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得，进而得到直线的倾斜角为或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：直线，‎ 令，解得．‎ ‎∴直线恒过定点．‎ ‎∵，‎ ‎∴点在圆内，‎ ‎∴直线与圆总有两个不同的交点. ‎ ‎（2）由消去整理得 ‎，‎ 显然． ‎ 设，‎ 是一元二次方程的两个实根， ‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得 ‎∴，即直线的斜率为 ‎∴直线的倾斜角为或.‎ 点睛：圆的弦长的求法 ‎(1)几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为l，则．‎ ‎(2)代数法：设直线与圆相交于两点，由方程组消y后得到关于x的一元二次方程，从而求得，则弦长为 ‎(k为直线斜率)．在代数法中，由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量．‎ ‎21. 如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知为等边三角形，从而得到的关系式，进而求得离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到的关系式，然后设出直线的方程，并代入椭圆方程得到点坐标，从而求得，再根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程；别解：设，然后利用椭圆的定义表示出的长，再利用余弦定理得到的关系式，从而根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知，为等边三角形，，所以.‎ ‎（2）（ 方法一），.‎ 直线的方程可为．‎ 将其代入椭圆方程，得 所以 由，‎ 解得，，‎ ‎（方法二）设. 因为，所以．‎ 由椭圆定义可知，．‎ 再由余弦定理可得，．‎ 由知，，，‎ 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎22. 三棱锥中，侧面与底面垂直，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设，求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)30°.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）取中点，连结，可得，根据侧面与底面垂直可证得平面，再由，得，从而可得．（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，用两向量的坐标表示出直线和平面所成角的正弦值，从而得到线面角的大小．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取中点，连结.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 又已知知平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面,为垂足.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴为的外接圆直径，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ‎ 则，‎ ‎∴.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，得，‎ 令，则.‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成的角为.‎ 点睛：利用向量法求线面角的方法：‎ ‎（1）分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎（2）通过平面的法向量来求，即若直线l的方向向量和平面α的法向量分别为，则直线l与平面α所成角θ满足，其中．解题时注意θ与的不同．‎