2019学年高一数学上学期12月月考试题 人教 新版

2019学年高一数学上学期12月月考试题 人教 新版

‎2019学年高一数学上学期12月月考试题 考试范围：必修1 必修2第一章第二章；考试时间：120分钟；‎ 一、单选题（共12题，每题5分）‎ ‎1．已知全集，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎2．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A．（-,-1）B．（-1,-）C．（-5,-3）D．（-2,-）‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是(    )‎ A ．B．‎ C． D.‎ ‎5．如果方程的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B．（－2，0） C．（0，1） D．（－2，1）‎ ‎6．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 11 -‎ ‎8某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则其正视图中x的值为 ‎ A．5 B． 4 C．3 D．2 ‎ ‎9．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的半径为（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 36 D. 9‎ ‎10．已知=是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）‎ A.（0，1） B.（0，） C.［，）D.［，1）‎ ‎11．如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）‎ A. 动点在平面上的射影在线段上B. 恒有平面⊥平面 C. 三棱锥的体积有最大值D. 异面直线与不可能垂直 ‎12.如图所示，在棱长为5的正方体中，是棱上的一条线段，且，点是的中点，点是棱上的动点，则四面体的体积（ ）‎ A．是变量且有最大值 B．是变量且有最小值 ‎ C.是变量有最大值和最小值 D．是常量 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．若，则__________．‎ ‎14．已知是球的直径上一点, , 平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.‎ 15. 若在区间(-∞，1]上递减，则a的取值范围为 ‎16.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：‎ ‎①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；‎ ‎②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；‎ ‎③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；‎ ‎④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1。‎ 其中真命题的编号是。‎ - 11 -‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知集合，集合，集合 ‎.‎ （1） 求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ 在直三棱柱中,,，求：‎ ‎（1）异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（2）直线到平面的距离．‎ 19． ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若函数的值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围 20． ‎（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别为的中点，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥与四棱锥的体积之比.‎ 21． ‎（本小题满分12分）‎ 已知是定义在上的奇函数，且，若，且时，有恒成立．‎ ‎（Ⅰ）用定义证明函数在上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）解不等式：；‎ - 11 -‎ ‎（Ⅲ）若对所有恒成立，求实数m的取值范围．‎ 18． ‎（本小题满分12分）‎ 如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：‎ ‎(1)求三棱锥C－BOD的体积；‎ ‎(2)求证：CB⊥DE；‎ ‎(3)在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．‎ - 11 -‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】试题分析：图中阴影表示 ‎，故选C.‎ 考点：集合的运算 ‎2．A ‎【解析】‎ 试题分析：根据，等腰梯形的面积为,所以原图像的面积为，故选A.‎ 考点：斜二测画法 ‎3．B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的定义域为，即，所以，所以函数的定义域为，所以，即，所以函数的定义域为．故选B．‎ 考点：函数的定义域及其求法．‎ ‎4．D ‎【解析】构造一个正方体，将各选项中的条件对应于正方体中的线和面，不难知道，A，B，C是典型错误命题，选D．‎ ‎5．C ‎【解析】‎ 试题分析：构建函数f（x）=x2 +（m-1）x+m2-2，根据两个实根一个小于-1，另一个大于1，可得f（-1）＜0，f（1）＞0，从而可求实数m的取值范围．解：由题意，构建函数f（x）=x2 +（m-1）x+m2-2，∵两个实根一个小于-1，另一个大于1，∴f（-1）＜0，f（1）＞0，∴0＜m＜1，故选C 考点：方程根的问题 点评：本题以方程为载体，考查方程根的讨论，关键是构建函数，用函数思想求解．‎ ‎6．D ‎【解析】试题分析：连与交与点，再连，∵，∴，且平面平面，所以平面，则为与平面所成的角，所以，所以，故选D．‎ ‎7．D - 11 -‎ ‎【解析】试题分析：做出的图象，在时，是增函数，值域为，在时，是减函数，值域是，由图知，方程有两个不等实根，则有.故选D.‎ ‎8．C ‎【解析】‎ 考点：由三视图求面积、体积．‎ 分析：几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，侧棱长是3，下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x，写出几何体的体积，得到关于x的方程，解出结果．‎ ‎：由三视图知，几何体是一个组合体，‎ 上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，侧棱长是3，根据直角三角形勾股定理知圆锥的高是=‎ 下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x，‎ ‎∵几何体的体积为，‎ ‎∴π×4x+×(2)2×=，‎ ‎∴x=3，‎ 故答案为：3‎ ‎9．A ‎【解析】因为三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S—ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球；长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为故选A ‎10．C ‎【解析】‎ - 11 -‎ 试题分析：由题意可得.故C正确.‎ 考点：1函数的单调性;2数形结合思想.‎ ‎11．D ‎【解析】试题分析：依题意可知四边形为菱形，对角线与互相垂直平分，故正确，在旋转过程中始终垂直和，故，所以恒有平面⊥平面，故正确．当时，三棱锥的体积取得最大值，故正确．因为，故异面直线与所成的角为，旋转过程中有可能为直角，故错误．‎ 考点：1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角．‎ 12． D　‎ ‎【解析】试题分析：点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥‎ 平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数．于是四面体PQEF的体积为常数．‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．0‎ ‎【解析】得 ‎14．；‎ ‎【解析】试题分析：由题如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以.由勾股定理, ，又由题意得,故.由球的表面积公式得; ‎ 考点：球体的几何性质及表面积。‎ ‎15．‎ ‎【解析】函数的对称轴为 - 11 -‎ ‎，要使函数在(-∞，1]上递减，则有，即，解得，即，选A.‎ ‎16．①③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①∵BC1∥平面AD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P-AD1-C的大小不受影响，所以正确．④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线D C1平行的直线，而D D1= C1D1，所以正确．故答案为：①③④.‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）由，得，，，‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎①当，即时，，此时，满足题意；‎ ‎②当时，若，则，解得 综上所述，的取值范围是 ‎18．(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以（或其补角）是异面直线与所成角. 1分 因为,,所以平面，所以.3分 在中,6分 ‎（2）因为//平面 所以到平面的距离等于到平面的距离 8分 设到平面的距离为，‎ 因为，所以10分 - 11 -‎ 可得11分 直线与平面的距离为．‎ 考点：(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．‎ 19． ‎（1）实数a的取值范围是．（2）a=±1．‎ ‎（3）实数a的取值范围是[1，2]．‎ ‎【解析】记g（x）=x2﹣2ax+3=（x﹣a）2+3﹣a2，‎ ‎（1）由题意知g（x）＞0对x∈R恒成立，‎ ‎∴ ，解得 ‎∴实数a的取值范围是．‎ （2） 由函数是减函数及函数的值域为 ‎（﹣∞，﹣1]，可知 x2﹣2ax+3≥2．由（1）知g（x）的值域为[3﹣a2，+∞），‎ ‎∴．‎ ‎∴a=±1．‎ ‎（3）由题意得，解得1≤a≤2，‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，2]．‎ ‎20．（1）（2）证明过程详见解析；（3）1：4‎ ‎【解析】‎ ‎(1)证明：∵分别为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵四边形是正方形，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵在平面外，在平面内，‎ ‎∴平面，平面，‎ 又∵都在平面内且相交，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)证明：由已知平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，∴.‎ ‎∵四边形为正方形，∴，‎ 又，∴平面，‎ 在中，∵分别为的中点，‎ ‎∴，∴平面.‎ - 11 -‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎(3)解：∵平面，四边形为正方形，不妨设，则.‎ ‎∵平面，且，‎ ‎∴即为点到平面的距离，‎ ‎∴21．（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）或 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：设任意且，‎ 由于是定义在上的奇函数，∴‎ 因为，所以，由已知有,‎ ‎∵，∴，即，‎ 所以函数在上是增函数. ‎ ‎（Ⅱ）由不等式得，解得 ‎（Ⅲ）由以上知最大值为，‎ 所以要使对所有，只需恒成立，‎ 得实数m的取值范围为或.‎ ‎22．（1）（2）见解析（3）G为的中点 ‎【解析】(1)∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C＝，‎ ‎∵∠CAB＝，∴AC＝BC，‎ ‎∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，‎ ‎∵AB＝2，∴CO＝1.‎ ‎∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，‎ ‎∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.‎ - 11 -‎ ‎∴CO就是点C到平面BOD的距离，‎ S△BOD＝S△ABD＝××1×＝，‎ ‎∴VC－BOD＝S△BOD·CO＝××1＝.‎ ‎(2)证明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，‎ ‎∴△AOD为正三角形，‎ 又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，‎ ‎∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，‎ ‎∴DE⊥平面ABC.‎ 又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE.‎ ‎(3)存在满足题意的点G，G为的中点．证明如下：‎ 连接OG，OF，FG，‎ 易知OG⊥BD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AD⊥BD，‎ ‎∴OG∥AD，‎ ‎∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，‎ ‎∴OG∥平面ACD.‎ 在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴OF∥AC，‎ ‎∴OF∥平面ACD，‎ ‎∵OG∩OF＝O，‎ ‎∴平面OFG∥平面ACD.‎ 又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD.‎ - 11 -‎