2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求定义域得集合A，再根据交集定义求结果.‎ 详解：因为，所以 所以 选B.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2．对于任意实数以下四个命题正确的是（ ）‎ A. 若则 B. ‎ C. 若则 D. 若则 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立.‎ 详解：因为同向不等式可相加，所以若则，‎ 因为c=0时，所以B错；‎ 因为，所以C错；‎ 因为，所以D错；‎ 选A.‎ 点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.‎ ‎3．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个， 每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 甲命中个数的极差是29 B. 乙命中个数的众数是21‎ C. 甲的命中率比乙高 D. 甲命中个数的中位数是25‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数，再作出判断.‎ 详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29，乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高，甲命中个数的中位数是23，所以选D.‎ 点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数，考查基本求解能力.‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.‎ ‎5．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知 ,选C.‎ ‎【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ ‎6．下列四个命题:‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；‎ ‎④对于命题,使得.则，均有；‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】B ‎【解析】对于①，命题“若，则”的逆否命题是“，则”正确；对于②， 的解为或， 是的充分不必要条件，正确；对于③，原命题为真命题，则原命题的否命题不一定为假命题，错误；对于④，对于命题，则，故正确，正确命题的个数是 ，故选B. ‎ ‎7．某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：频率为，人数为人.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎8．若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据中点与圆心连线垂直PQ得斜率，再根据点斜式得方程.‎ 详解：因为的中点与圆心连线垂直PQ，所以,‎ 所以直线的方程是,‎ 选B.‎ 点睛：本题考查圆中弦中点性质，考查基本求解能力.‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.‎ 详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为为奇函数，恒大于零，恒非负，满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.‎ 点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.‎ ‎10．函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.‎ ‎11．学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．‎ 已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是 A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丁和戊 D. 甲和丁 ‎【答案】D ‎【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若 ，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设 ，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．‎ 详解：设，则， ∴是偶函数． 当.， ∴在 上是增函数，‎ ‎∵， ∴‎ 即 ， ∴ ， 即． 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．计算__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】分析：根据微积分基本定理求定积分.‎ 详解： ‎ 点睛：本题考查利用微积分基本定理求定积分，考查基本求解能力.‎ ‎14．已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据复数乘除法则求z，再根据共轭复数概念得结果.‎ 详解：因为(i−1)(z−)=2i，所以 因此z的共轭复数为 ‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎15．已知实数x，y满足，则的最大值为___________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.‎ 详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为 ‎ 即答案为14.‎ 点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.‎ ‎16．已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．‎ 详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时； 则 解得 ， 则命题为假命题时，或， 若命题双曲线的离心率为真命题时； ‎ 则 即即 ‎ 则命题为假命题时，，或 ， ∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题， 当真假时，0， 当假真时，， 综上所述，实数的取值范围是：，或． 故答案为：.‎ 点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，且，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）5‎ ‎【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；‎ ‎（2）利用柯西不等式可求的最大值.‎ 详解：‎ ‎（1）①当时，，得，∴；‎ ‎②当时，成立，∴；‎ ‎③当时，，得，∴；‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，‎ 即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号 ‎∴当，x＋y＋z的最大值为5．‎ 点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.‎ ‎18．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.‎ ‎【答案】（1），；（2）2‎ ‎【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1 的极坐标方程． （2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．‎ 详解：‎ ‎（1）圆普通方程 所以的极坐标方程为 直线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）将代入,得,‎ 解得,故,即. ‎ 由于圆的半径为,所以的面积为 点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19．某校为了解高二学生、两个学科学习成绩的合格情况是否有关,随机抽取了该年级一次期末考试、两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下22列联表:‎ 学科合格人数 学科不合格人数 合计 学科合格人数 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 学科不合格人数 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ ‎（1）据此表格资料，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关；‎ ‎（2）从“学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“学科合格”的人数为，求的数学期望.‎ 附公式与表：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)先根据卡方公式求 ，再对照参考数据确定可靠率，(2)先确定随机变量服从超几何分布，再根据超几何分布概率公式得分布列，最后根据数学期望公式求期望.‎ 详解：（1）‎ 故能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“学科合格”与“学科合格”有关. ‎ ‎（2）服从超几何分布，‎ ‎，，‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.‎ ‎20．已知是函数的一个极值点.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数 的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．‎ ‎（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．‎ 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．‎ ‎21．已知椭圆（）的两个顶点分别为和，两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于另一点，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析: 求出点的坐标，根据点在椭圆上满足椭圆方程，列出一个的等式就可以求出离心率，根据离心率进行减元，把椭圆方程写出来，写出的垂直平分线的方程，直线与 轴交点恰好为外接圆的圆心，得出外接圆的方程，点（）既在直线上又在的外接圆上，联立方程组求出.‎ 试题解析：（Ⅰ） ，且，‎ 点是点和点的中点.‎ ‎，，点的坐标为.‎ 代入得：，‎ 离心率.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ 所以椭圆的方程可设为.‎ 若，则.‎ 线段的垂直平分线的方程为.‎ 直线与轴的交点是外接圆的圆心，‎ 因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点的坐标满足方程组 ‎，由解得.‎ 故.‎ ‎【点睛】列出一个的等式就可以求出离心率，根据点在椭圆上满足椭圆方程，就可以列出等式；三角形的外接圆为三边的垂直平分线的交点，由于的中垂线为轴，所以只需求出另一边的垂直平分线与轴的交点即为外心，点即在直线上又在圆上，满足方程求出结果.‎ ‎22．已知函数图象的一条切线为.‎ ‎（1）设函数，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切点坐标，代入函数解析式得，再求的导数，根据b讨论导函数零点，进而得单调性，(2)先求导数，转化为+>2，再构造函数，x∈(1，2)，利用导数易得(x)在(1，2)上单调递增，即得()>(1)=0，即()>(2−)，最后根据()=()，证得结论成立.‎ 详解：（1），设切点，则切线斜率 ‎∴，即切点，故，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎①当时，，∴增区间，无减区间；‎ ‎②当时，令，得；令，得 ‎∴增区间，减区间 ‎ ‎（2）依题意及（1）得函数，则，‎ ‎∴当01时，，‎ ‎∴函数在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，‎ ‎∴ ‎ ‎∵函数的图象恒与x轴有两个不同的交点M(，0)，N(，0)，‎ 且当x趋近于0时，趋近于−∞，当x趋近于+∞时，趋近于−∞，‎ ‎∴−1−m>0，m<−1，且≠， ‎ 故不妨设<，则0<<1<．‎ 要证()<0，需证>1，即+>2，‎ 当≥2时，显然成立．‎ 当1<<2时，令，x∈(1，2)，‎ ‎∵，∴(x)=ln x−ln(2−x)−2x+2，‎ ‎ =+−2=>0，x∈(1，2)，‎ ‎∴(x)在(1，2)上单调递增，∴()>(1)=0，即()>(2−)， ‎ 又由题意知()=()，∴()>(2−)．‎ ‎∵在(0，1)上单调递增，∈(0，1)，2−∈(0，1)，‎ ‎∴>2−，即+>2．综上可得，+>2，即证．‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎