2018-2019学年山东省泰安第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省泰安第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省泰安第一中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若U=R,集合A={}，集合B为函数的定义域，则图中阴影部分对应的集合为（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解一元一次不等式，求对数函数的定义域求出集合，，阴影部分表示的集合为，根据集合关系即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 阴影部分表示的集合为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，对数函数的定义域，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（　　）‎ A． B． C． D． y=|x﹣1|‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性的定义，即可判断既是奇函数又在区间上单调递增的函数．‎ ‎【详解】‎ 对于A，定义域为不关于原点对称，故不为奇函数，故A错．‎ 对于B，，则为奇函数，在区间上单调递增，故B对；‎ 对于C，为非奇非偶函数，故C错误；‎ 对于D，的图象关于对称，为非奇非偶函数，故D错误，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎3．函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据函数零点的判断条件，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，则函数在上单调递增，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，在区间内函数存在零点，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎4．已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）‎ A． c＜a＜b B． a＜b＜c C． b＜a＜c D． c＜b＜a ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据指数函数的单调性可以判断，的大小，根据幂函数 的单调性可以判断，的大小，综合可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，可得是单调减函数，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，可得为减函数，‎ ‎∵，∴ ，‎ 综上可得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、幂函数的单调性，常见的做法还有可能与 1比较，属于基础题.‎ ‎5．已知函数（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（　　）‎ A． 2或3 B． 3 C． 2 D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由幂函数为偶函数，又它在递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数的值．‎ ‎【详解】‎ 幂函数为偶函数，且在递减，‎ ‎∴，且是偶数，‎ 由得，又由题设是整数，故的值可能为2或3，‎ 验证知或者3时，都能保证是偶数，故或者3即所求．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向．‎ ‎6．已知函数f（x）=loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A． （1，4） B． （1，4] C． （1，2） D． （1，2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得的对称轴为，①当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，②时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立从而可求.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得的对称轴为，‎ ‎①当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，则，∴‎ ‎②时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，则，此时不存在，综上可得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑，属于中档题.‎ ‎7．设在内存在使，则的取值范围是 A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 略 ‎8．若2a=3b=6，则=（　　）‎ A． 2 B． 3 C． D． 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 首先将指数式化为对数式解出和，将换底公式与对数的加法运算性质相结合即可得到最后结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数式与对数式的互化，换底公式（当两对数底数和真数位置互换时，两数互为倒数）与对数加法运算法则的应用，属于基础题.‎ ‎9．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足的x的取值范围是（　　）‎ A． （0，+∞） B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得偶函数在上递增，在上递减，结合题意可得 ①，或 ②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得偶函数在上递增，在上递减，‎ 且，故由可得 ①，或 ②．‎ 由①可得 ，，解得．‎ 由②可得 ，，解得．‎ 综上可得，不等式的解集为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，解对数不等式，对数的熟练运算是解题的关键，属于中档题．‎ ‎10．若方程x2+ax+a=0的一根小于﹣2，另一根大于﹣2，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． （4，+∞） B． （0，4）‎ C． （﹣∞，0） D． （﹣∞，0）∪（4，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 令，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ ‎∵方程的一根小于，另一根大于，‎ ‎∴，即，解得，‎ 即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查．‎ ‎11．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． （﹣∞，4） B． （﹣∞，4] C． [3，4） D． [3，4]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将函数的零点问题转化为与的图象的交点问题，借助于函数图象可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由于函数有3个零点，则方程有三个根，‎ 故函数与的图象有三个交点．‎ 函数，其图象如图所示，‎ 故函数的极大值为，极小值为，‎ 则实数的取值范围，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，常见的转化思想即方程根的个数等价于函数和图象交点的个数，该题中画出函数的图象是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．设函数f（x）=ln（x+）+x3（﹣1＜x＜1），则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）‎ A． （0，） B． （﹣∞，） C． （，） D． （﹣1，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据函数的奇偶性以及函数的单调性易得为奇函数且为增函数，进而得到关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，定义域关于原点对称，‎ ‎∴是奇函数，而时，递增，‎ 故时，递增，故在递增，‎ 若，则，解得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，观察得到为奇函数是难点，常见与对数相结合的奇函数还有，在该题中容易遗漏的知识点为函数的定义域即，是一道中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题解析：∵函数在区间上的偶函数 ‎∴ ‎ ‎∴即 ‎【考点】本题考查函数性质 点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性，定义域关于原点对称 ‎14．设函数, 则满足=的的值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据分段函数的解析式，分为和两种情形，列出方程，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 可得当时，，解得舍去．‎ 当时，，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．如果，则m的取值范围是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，可得，解出即可得出 ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得，故的取值范围为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的单调性，注意函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎16．已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx，当m＞0时，关于x的不等式f（log3x）＜1的解集为_____．‎ ‎【答案】(0,1)‎ ‎【解析】‎ 首先得到函数为增函数，原不等式等价于，结合单调性解出即可.‎ ‎【详解】‎ 函数，当时，可知单调递增函数，‎ 当时，可得，那么不等式的解集，‎ 即，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性判断，将不等式转化为是解题的关键，在解关于对数函数的不等式时务必要保证真数部分大于0，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．（1）已知，，求a，b； 并用a，b表示.‎ ‎（2）求值 ‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将指数式化为对数式根据对数的运算性质化简即可；（2）利用幂指数的运算性质，对数的定义即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，所以，，‎ 所以.‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．‎ ‎18．已知集合，‎ ‎（1）若;‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或 ‎【解析】‎ ‎（1）把代入集合，求解一元二次不等式化简，再由交、并、补集的运算得答案；（2）分为和两类分析，当时，列关于的不等式组求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当 ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎①当A=时，有；‎ ‎②当A时，有 又∵，则有或，‎ 解得：或 ‎∴或 综上可知：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其运算以及子集的概念，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；‎ ‎（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)奇函数满足恒成立，据此得到关于实数的等式，据此可得 ‎；结合指数函数的性质可知在上是单调递增函数.‎ ‎(2)原问题等价于方程在区间上有两个不同的根，换元即方程在区间上有两个不同的根，结合二次函数的性质可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为是奇函数，‎ 所以 ，‎ 所以；‎ 在上是单调递增函数.‎ ‎（2）在区间上有两个不同的零点，‎ 方程在区间上有两个不同的根，‎ 方程在区间上有两个不同的根，‎ 方程在区间上有两个不同的根，‎ ‎.‎ ‎20．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．‎ ‎（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；‎ ‎（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元 ‎【解析】‎ ‎（1）求出总成本，由利润=总收益-总成本可得自行车厂的利润元与月产量 的函数式；（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值25000，当时，由函数的单调性可得，由此得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题设，总成本为20000+100x，‎ 则；‎ ‎（2）当0≤x≤400时，，‎ 则当x=300时，ymax=25000；‎ 当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，‎ 则y＜60000﹣100×400=20000，‎ ‎∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题.‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．‎ ‎（Ⅰ）求实数a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数g（x）=，若不等式g（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a=1，b=0；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）时，在区间上单调递增，可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，原题可化为，分离参数，令，求出的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）f（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+1+b﹣a．‎ ‎∵a＞0，∴f（x）在区间[2，3]上单调递增，‎ ‎∴，解得a=1，b=0；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2x+1，‎ ‎∴g（x）==，‎ 不等式g（2x）﹣k•2x≤0可化为，‎ 即k．‎ 令t=，‎ ‎∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，‎ 令h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，t∈[，2]，‎ ‎∴当t=2时，函数取得最大值h（2）=1．‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴实数k的取值范围为[1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数在闭区间上最值的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用换元法及配方法求最值，是中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，求出或即得解.‎ ‎22．已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．‎ ‎（I）求f（0）的值和实数m的值；‎ ‎（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；‎ ‎（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（I）由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）= loga ‎=0，进一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立，比较系数可得m=1或m=﹣1（舍去）；（II）根据函数单调性的定义证明即可；（III）由，得0＜a＜1，根据条件构造不等式f（b﹣2）＞f（2﹣2b），然后利用函数的单调性得到关于b的不等式求解即可。‎ 试题解析：（I）∵f（0）=loga1=0．‎ ‎∵函数f（x）是奇函数，‎ ‎∴ f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=0‎ ‎∴loga+loga=0；‎ ‎∴loga=0‎ ‎∴=1，‎ 整理得1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．‎ ‎∴m2=1．‎ 所以m=1或m=﹣1（舍去）‎ ‎∴m=1．‎ ‎（II）由（I）可得f（x）=loga；‎ 令 设﹣1＜x1＜x2＜1，则 ‎∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0‎ ‎∴t1＞t2．‎ ‎① 当a＞1时，logat1＞logat2，即f（x1）＞f（x2）．‎ ‎∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．‎ ‎②当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数．‎ ‎（III）∵，‎ ‎∴0＜a＜1，‎ 由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），‎ ‎∵函数f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b），‎ 故由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函数，‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴实数b的取值范围是。‎ 点睛：函数单调性的证明方法 ‎（1）对于型的函数，可按照取值、作差、变形、判断符号、下结论的步骤进行；‎ ‎（2）对于型的函数，可先判断的单调性，可得的大小关系，再利用的单调性求解；‎ ‎（3）对于抽象函数，可按单调性的定义进行判断，解题时要注意条件中给出的函数的有关性质的运用，通过适当的变形得到的大小关系。‎