2019-2020学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省豫南九校高二上学期第三次联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若且，则下列不等式成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 选项A: ，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；‎ 选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立 ，故本选项是错误的；‎ 选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；‎ 选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.‎ ‎2．已知命题：，，则是（）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题p：∀x＞0，总有lgx＞0，‎ ‎∴命题¬p为：∃x0＞0，使得lgx0≤0，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，因此，实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎4．在中，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理：‎ 根据余弦定理：‎ ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正余弦定理的灵活运用和计算能力.‎ ‎5．已知数列满足递推关系：,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列是首项为,公差为的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：,‎ ‎,‎ 又,数列是首项为,公差为的等差数列,即 ‎,‎ 即.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系,等差数列的概念和等差数列的通项公式,属于基础题．‎ ‎6．若实数，满足约束条件，则的最大值等于（ ）‎ A．2 B．1 C．-2 D．-4‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意作出可行域如图：‎ 平移直线可得在点A处取到最大值，联立可得,代入可得最大值为2，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎7．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 若“，”为真命题，可得恒成立 只需，‎ 所以时，，”为真命题，‎ ‎“，”为真命题时推出，‎ 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，‎ 选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.‎ ‎8．若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为　　‎ A． B．‎ C．或 D．以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，所以分情况讨论．‎ ‎【详解】‎ 解：设焦点在轴上，椭圆的标准方程为 焦点坐标为，，顶点坐标为，；‎ 椭圆的，，关系：；‎ 直线恒过定点和 直线必经过椭圆的焦点，和顶点 带入直线方程：‎ 解得：，，‎ 焦点在轴上，椭圆的标准方程为；‎ 当设焦点在轴，椭圆的标准方程为 焦点坐标为，，顶点坐标为，；‎ 椭圆的，，关系：‎ 直线恒过定点和 直线必经过椭圆的焦点，和顶点 带入直线方程 解得：，，‎ 焦点在轴上，椭圆的标准方程为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎9．已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，即.‎ 所以，所以，又，‎ 所以即，故的面积.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.‎ ‎10．如图所示的数阵称为杨辉三角.斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：记这个数列的前n项和为，则等于（ ）.‎ A．128 B．144 C．155 D．164‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图中锯齿形数列，发现规律：奇数项的第n项可表示成正整数的前n 项和的形式，偶数项构成以2为首项，公差是1的等差数列，由此结合等差数列的通项与求和公式，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由图中锯齿形数列，发现：‎ ‎，‎ 而，‎ 所以 ‎，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的前n项和，等差数列的通项与求和公式，归纳推理，属于中档题.‎ ‎11．已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项使得，则的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据计算公比，然后由找到的关系式，最后根据基本不等式求解的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，又，所以；由可知：，所以，则；‎ ‎，取等号时，即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 基本不等式中“”的妙用：‎ 已知，求解的最小值的方法：，取等号时.‎ ‎12．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，为椭圆的右焦点及椭圆中解方程组求得a、b、c，得到椭圆方程．设出点P，根据向量数量积转化为关于横坐标m的二次函数，即可求得取值范围．‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以 ，即 为椭圆的右焦点，所以c=3‎ 在椭圆中，‎ 所以，解方程组得 所以椭圆方程为 设 ‎ 则，则 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ 因为，所以当时，取得最大值为 ‎ 当m趋近于0时，的值趋近于-16 ‎ 所以的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知等差数列的通项公式，记其前n项和为，那么当________时，取得最小值.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】由通项公式可知，，代入等差数列前n项和公式，利用二次函数相关知识求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以,，‎ 因为对称轴方程为，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，二次函数的最值，属于中档题.‎ ‎14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，若该三角形有两解，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理求出，三角形有两解确定角范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵在中，，，‎ ‎∴由正弦定理得，‎ ‎∵，∴，要使三角形有两解，‎ 得到：，且，即，‎ ‎∴，解得：.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形，考查三角形解的个数求参数，属于中档题.‎ ‎15．若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 若“，使得成立”是假命题，‎ 即“，使得成立”是假命题，‎ 由，当时，函数取最小值，‎ 故实数的取值范围为，‎ 故答案为.‎ ‎16．已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知，只需的最大角不小于，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时逐渐增大，当且仅当为椭圆的上（下）顶点时最大，可求出不等量关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大.‎ 要满足椭圆上存在点使得，‎ 则，‎ 所以，‎ 即：‎ 故椭圆离心率的取值范围为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题；存在，使得成立；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为假，为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据函数单调性，求出函数的最大值，即可得出结论；‎ ‎（2）求出命题为真时的范围，再由命题一真一假，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）存在，使得成立，‎ ‎∴，命题为真时，.‎ ‎（2）命题为真，则，解得：.‎ ‎∵为假，为真，‎ ‎∴，中一个是真命题，一个是假命题.‎ 当真假时，则，解得；‎ 当假真时，，解得.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题成立求参数范围，以及椭圆的性质，考查复合命题真假判断，属于基础题.‎ ‎18．设函数 ‎（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若对于恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；‎ ‎（2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，要使不等式恒成立，‎ ‎①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；‎ ‎②当时，只需，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎（2）要使对于恒成立，‎ 只需恒成立，‎ 只需，‎ 又因为，‎ 只需，‎ 令，则只需即可 因为，当且仅当，即时等式成立；‎ 因为，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.‎ ‎19．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：，结合为的内角，可得的值．（2）由，由（1）可得，又，‎ 由正弦定理可得：，从而利用三角函数恒等变换的应用可得：‎ ‎，结合，可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得，化简得 ‎，‎ 因为为的内角，所以，故或.‎ ‎（2）因为，所以.由正弦定理得，得，，‎ 故＝.‎ 因为，所以，则，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．‎ ‎20．设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为，且，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）记，则，由题设可知，‎ 则，‎ ‎；‎ ‎（2）记直线与轴的交点为，则①，‎ ‎，‎ 将的坐标代入椭圆方程得②‎ 由①②及得，‎ 故．‎ ‎【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎21．已知数列是首项为，公比为的等比数列，.‎ ‎（1）若、、成等差数列，求的值；‎ ‎（2）证明，有.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）先利用等比数列的通项公式和前项和公式分别求出、，由题意条件得出，即为，从而解出的值；‎ ‎（2）将裂项为，利用裂项法求出，再利用放缩法可得出所证不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由等比数列的通项公式得，‎ 由等比数列的前项和公式得，‎ ‎、、成等差数列，所以，，即，化简得 ‎，‎ 解得；‎ ‎（2），且，‎ 因此，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22．已知椭圆（）的焦距为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）四边形的面积为定值2；证明见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）先由题意得到，，从而可求出，进而可得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）先设（，），根据椭圆方程得到，再由题意得到直线的方程为，表示出，再由直线的方程为，表示出，根据四边形的面积，化简整理，即可得出结论成立。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，，且，求得，所以．‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设（，），则．‎ 又，，所以直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 直线的方程为．‎ 令，得，从而．‎ 所以四边形的面积 ‎　　　‎ 所以四边形的面积为定值2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据求椭圆方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，即可求解，属于常考题型.‎