西藏自治区拉萨中学2018-2019学年高二第五次月考数学（理）试题

西藏自治区拉萨中学2018-2019学年高二第五次月考数学（理）试题

拉萨中学高二年级（2020届）第五次月考理科数学试卷 命题： ‎ ‎（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）‎ 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设函数,则 ( ) ‎ A．-6 B．-3 C．3 D．6‎ ‎2．曲线在点处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若函数在[0,1]上单调递减，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列函数中，在(0,+∞)内为增函数的是 （）‎ A. y=sin2x B. y=xex C. y=x3-x D. y=-x+ln(1+x)‎ ‎5．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的导函数为，满足，则等于（　　）.‎ A．﹣8 B．﹣12 C．8 D．12‎ ‎7．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 ( )　‎ A．1 B．-1 C．-2或1 D．2或1‎ ‎8．若直线与圆相切，则等于（ ）‎ A．1或-3 B．-1或-3 C．1或3 D．-1或3‎ ‎9．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为(　　)‎ A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元 ‎11．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱上靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A．8 B．12 C．20 D．18‎ ‎12．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则下面四个图象中, 的图象大致是(　　)‎ A. B C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．曲线在处的切线方程为 ．‎ ‎14．已知函数，则 .‎ ‎15．古埃及发现如下有趣等式：,‎ ‎，按此规律， .‎ ‎16．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲团队获得一等奖”；‎ 小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；‎ 小李说：“丁团队获得一等奖”；‎ 小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是 ．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的图象在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎18．已知时，函数有极值-2.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若方程有3个实数根，求实数的取值范围。‎ ‎19．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．‎ ‎（1）求出，，，的值；‎ ‎（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；‎ ‎（3）猜想的表达式，并写出推导过程．（不需要证明）‎ ‎20．已知函数 (是自然对数的底数)， .‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设，其中为的导函数，证明：对任意.‎ ‎21．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，， ，分别为，的中点． ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．‎ ‎（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）若抛物线上存在相异两点P和Q关于直线对称，求的取值范围 ‎2019年高二数学第五次月考理科试卷答案 一、 CCABA BDABC BC 二、13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．丁 三、17．解：‎ 函数的导数为，‎ 图象在点处的切线方程为，‎ 可得，，‎ 解得，；‎ 由的导数为，‎ 可令，可得或；，可得，‎ 则增区间为，，减区间为；‎ 由，可得，或，‎ 则，，，，‎ 可得在的最小值为，最大值为7．‎ ‎18．解：‎ ‎（1）因为，所以f′（x）＝3ax2+b．‎ 又因为当x＝1时，f（x）的极值为-2，所以，‎ 解得a＝1，b＝-3．‎ ‎（2）由（1）可得，f′（x）＝3x2-3＝3（x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）＝0，得x＝±1，‎ 当x＜﹣1或x＞1时f′（x）＞0，f(x)单调递增，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f(x)单调递减；‎ 所以当x＝﹣1时f（x）取得极大值，f（﹣1），当x＝1时f（x）取得极小值，f（1），大致图像如图：‎ 要使方程f（x）＝k有3个解，只需k．‎ 故实数k的取值范围为（-2，2）．‎ ‎19．解：（1）由题图可得，，，观察题图可得.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 归纳：.‎ ‎（3）由（2）知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，‎ 以上各式相加得，‎ 又，‎ 所以.‎ ‎20．解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为,‎ 由，得，∴点A的坐标为. ‎ ‎，所以， ‎ 所以曲线在点A处的切线方程为 ‎（Ⅱ），所以 ‎ 令得，因此当时， 单调递增；‎ 当时， 单调递减.‎ 所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ‎ ‎（Ⅲ）证明：因为，所以， 等价于在时恒成立, ‎ 由（Ⅱ）知,当时， 的最大值， ‎ 故，‎ 因为时， ‎ 所以，‎ 因此任意， . ‎ ‎21．解：‎ ‎（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，‎ ‎，‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，，‎ 且，‎ 平面，‎ 又平面，平面平面.‎ ‎（2），‎ 设平面的法向量是，‎ 且，‎ 则，即,令，则,‎ ‎,又,‎ ‎，‎ 故.‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22.（Ⅰ）因为直线与轴的交点坐标为，‎ 所以抛物线的焦点为，所以，故．‎ ‎（Ⅱ）法一：设点，，‎ 则由，得，故，‎ 又因为关于直线对称，所以，即，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，故．‎ 所以，、是关于y的方程的两相异实根，‎ 因此，解得．‎ 法二：设点，，线段的中点，‎ 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，‎ 于是直线的斜率为，则可设其方程为．‎ 由消去得，（*）‎ 因为 和是抛物线上的相异两点，所以，‎ 从而，化简得．‎ 方程（*）的两根为，从而．‎ 因为在直线上，所以．‎ 又因为在直线上，‎ 所以，即．‎ 于是有，所以，‎ 因此的取值范围为．‎