数学卷·2018届陕西省西北大学附中高二上学期期中考试数学理试卷（解析版）

数学卷·2018届陕西省西北大学附中高二上学期期中考试数学理试卷（解析版）

‎2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（每小题3分，共12个小题）．‎ ‎1．设命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，cosx+sinx＞1 B．∃x0≤0，cosx0+sinx0≤1‎ C．∀x＞0，cosx+sinx≤1 D．∃x0＞0，cosx0+sinx0≤1‎ ‎2．已知空间向量=（0，1，1），=（1，0，1），则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．120° C．30° D．150°‎ ‎3．点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，则x的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎4．在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，2）‎ ‎5．下列命题正确的是（　　）‎ A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件 B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”‎ C．函数的零点在区间内 D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β ‎6．点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，﹣2，1） B．（﹣3，2，﹣1） C．（﹣3，2，1） D．（﹣3，﹣2，﹣1）‎ ‎7．若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=‎ ‎8．在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知向量，，且与互相垂直，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y2=的焦点坐标是（　　）‎ A．（） B． C． D．‎ ‎11．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若，则x+y+z的值为（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题4分，共4个小题）．‎ ‎13．（4分）命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是　　．‎ ‎14．（4分）已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是　　．‎ ‎15．（4分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为　　．‎ ‎16．（4分）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）‎ ‎17．（9分）求满足下列条件的椭圆方程：‎ ‎（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；‎ ‎（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；‎ ‎（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．‎ ‎18．（9分）已知p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；q：a≥1．如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（9分）求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．‎ ‎20．（10分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．‎ ‎（1）求CE的长；‎ ‎（2）求证：A1C⊥平面BED；‎ ‎（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．‎ ‎21．（11分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎[附加题]（共2小题，每小题4分，满分8分）‎ ‎22．（4分）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎23．（4分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（），=0，满足．则椭圆的方程是　　．‎ ‎　‎ ‎[附加题]‎ ‎24．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；‎ ‎（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（每小题3分，共12个小题）．‎ ‎1．设命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（　　）‎ A．∀x＞0，cosx+sinx＞1 B．∃x0≤0，cosx0+sinx0≤1‎ C．∀x＞0，cosx+sinx≤1 D．∃x0＞0，cosx0+sinx0≤1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【专题】计算题；简易逻辑．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为：∀x＞0，cosx+sinx≤1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知空间向量=（0，1，1），=（1，0，1），则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．120° C．30° D．150°‎ ‎【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．‎ ‎【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．‎ ‎【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．‎ ‎【解答】解：∵ =（0，1，1），=（1，0，1），‎ ‎∴•=1，‎ ‎∵||=，||=，‎ ‎∴cos＜，＞===，‎ 向量与的夹角为60°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎3．点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，则x的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：因为点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，‎ 所以：（x﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣2）2=（x﹣2）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2．‎ 解得x=1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】把抛物线y=2x2中，准线方程为L：y=﹣=﹣．过点A作准线的垂线，垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．点M的坐标为（1，2）．在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，|PA|+|PF|＞|AB|．抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．‎ ‎【解答】解：把抛物线的解析式y=2x2变为x2=y，‎ 与标准形式x2=2py 对照，知：2p=．∴p=．‎ ‎∴抛物线x2=y的准线方程为L：y=﹣=﹣．‎ 由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离．‎ ‎∴点P到焦点的距离等于点P到准线的距离．‎ 分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：‎ 在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1，3）在抛物线内．‎ 过点A作准线的垂线，垂足为B，‎ 设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，‎ ‎∵AB⊥准线y=﹣，而点A的纵坐标为3，‎ ‎∴AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．‎ 把x=1代入y=2x2得y=2，‎ ‎∴点M的纵坐标为2．‎ ‎∴点M的坐标为（1，2）．‎ 下面分析“距离之和最小”问题：‎ 在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，‎ 过P作AB的垂线，垂足为H，‎ 在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则|PA|＞|AH|．‎ 在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，‎ ‎∴|PA|+|PF|（这里设抛物线的焦点为F） ‎ ‎=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．‎ 即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．‎ 此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的应用．作为选择题，可以用数形结合的方法，对明显不符合的选项进行排除，可不用按部就班的计算出每一步骤，节省时间．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题正确的是（　　）‎ A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件 B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”‎ C．函数的零点在区间内 D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】综合题；对应思想；综合法．‎ ‎【分析】由充分必要条件的判定方法判断A；写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．‎ ‎【解答】解：已知实数a，b，由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2，不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；‎ ‎“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1≥0”，故B错误；‎ ‎∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数，‎ 又，，∴函数的零点在区间内，故C正确；‎ 设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或α∥β，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•海淀区校级模拟）点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣3，﹣2，1） B．（﹣3，2，﹣1） C．（﹣3，2，1） D．（﹣3，﹣2，﹣1）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：根据点的对称性，点M（3，﹣2，1）关于平面yOz的对称点是：（﹣3，﹣2，1）；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（2012秋•顺德区期末）若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）‎ A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．‎ ‎【解答】解：∵ =（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，‎ 故有==．‎ ‎∴x=，y=﹣．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2015秋•邵阳校级期末）在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间直角坐标系；空间两点间的距离公式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影 ‎∴B点的坐标是（0，2，3）‎ ‎∴|OB|等于，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．‎ ‎　‎ ‎9．（2015秋•福建期末）已知向量，，且与互相垂直，则k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用．‎ ‎【分析】根据与互相垂直，（k+）•=0，列出方程求出k的值．‎ ‎【解答】解：∵向量，，‎ ‎∴k+=（k﹣1，k，1）；‎ 又与互相垂直，‎ ‎∴（k+）•=0，‎ 即（k﹣1）×1+k=0，‎ 解得k=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•黄州区校级模拟）两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y2=的焦点坐标是（　　）‎ A．（） B． C． D．‎ ‎【考点】数列与解析几何的综合．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意，由等差中项、等比中项的性质，可得a+b=9，ab=20，解可得a、b的值，代入抛物线方程，抛物线的焦点坐标公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，可得a+b=9，ab=20，‎ 又由a＞b，‎ 解可得，a=5，b=4，‎ 代入抛物线方程得：‎ y2=，‎ 则其焦点坐标是为，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查数列与解析几何的综合、等差数列等比数列、抛物线的焦点坐标的计算，注意结合题意，准确求得a、b的值．‎ ‎　‎ ‎11．（2016•延安校级二模）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；直线与圆；简易逻辑．‎ ‎【分析】条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k．即可判断出p是q的充分不必要条件．进而得出答案．‎ ‎【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k=．‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．‎ 则￢p是￢q的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2012秋•湖州期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若，则x+y+z的值为（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】由题意可得=，再由，求出x、y、z的值，从而求得 x+y+z的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得==，‎ 又∵，故有 x=1，y=﹣1，z=1． ‎ 故x+y+z=1，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题4分，共4个小题）．‎ ‎13．（4分）（2016秋•碑林区校级期中）命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是　2　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．‎ ‎【专题】探究型；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．‎ ‎【解答】解：命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”为假命题，‎ 故其逆否命题也为假命题；‎ 其逆命题为：“x∈R，若x＞0，则x2＞0”为真命题，‎ 故其否命题也为真命题，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，不等式的基本性质等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2015秋•高安市校级期末）已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是　90°　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】空间向量及应用．‎ ‎【分析】由题意可得向量的模长相等，进而可得∴（+）•（﹣）==0，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵ =（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），‎ ‎∴||=||=，‎ ‎∴（+）•（﹣）==0‎ ‎∴+与﹣垂直，‎ ‎∴向量+与﹣的夹角为：90°‎ 故答案为：90°‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积与夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2015•咸阳一模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由椭圆方程求出F、B的坐标，把坐标代入圆的方程求出b、c，由a2=b2+c2求出a，再求出椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得，椭圆的右焦点F为（c，0）、上顶点B为（0，b），‎ 因为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过右焦点F和上顶点 B，‎ 所以，解得b=c=2，‎ 则a2=b2+c2=8，解得a=，‎ 所以椭圆C的离心率e===，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，以及a、b、c的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2015秋•辽宁校级期末）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　（1，1，1）　．‎ ‎【考点】空间直角坐标系．‎ ‎【专题】空间角．‎ ‎【分析】设PD=a（a＞0），确定，的坐标，利用数量积公式，即可确定E的坐标．‎ ‎【解答】解：设PD=a（a＞0），则A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，a），E（1，1，），‎ ‎∴=（0，0，a），=（﹣1，1，），‎ ‎∵cos＜，＞=，∴ =a•，∴a=2．‎ ‎∴E的坐标为（1，1，1）．‎ 故答案为：（1，1，1）‎ ‎【点评】本题考查空间直角坐标系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）‎ ‎17．（9分）（2012秋•西安期末）求满足下列条件的椭圆方程：‎ ‎（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；‎ ‎（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；‎ ‎（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；‎ ‎（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c的关系解得b，即可得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得，2a=12，e=，‎ 即有a=6， =，即有c=4，‎ b===2，‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ ‎（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），‎ 由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得 ‎36m+0=1，且0+64n=1，‎ 解得m=，n=，‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ ‎（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），‎ 由题意可得a﹣c=4，a+c=10，‎ 解得a=7，c=3，‎ b==2，‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ 同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．‎ 即有椭圆方程为+=1或+=1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）（2016春•孝感期中）已知p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；q：a≥1．如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】由p真，可知，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．‎ ‎【解答】解：由p真，可知，解得a＞2，‎ 由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．‎ 若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．‎ 综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）（2016秋•碑林区校级期中）求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．‎ ‎【考点】向量的模．‎ ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．‎ ‎【解答】证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查了两点的距离公式和勾股定理的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．‎ ‎（1）求CE的长；‎ ‎（2）求证：A1C⊥平面BED；‎ ‎（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；‎ ‎（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；‎ ‎（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．‎ ‎∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），‎ B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．‎ 设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．‎ ‎∵BE⊥B1C，∴ •=4+0﹣4t=0．‎ ‎∴t=1，故CE=1．‎ ‎（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），‎ 又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）‎ ‎∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．‎ ‎∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，‎ 又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED．‎ ‎（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．‎ 又=（0，2，﹣4），‎ ‎∴cos＜，＞==．‎ ‎∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直，线面垂直，考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（11分）（2015秋•莆田校级期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是 ‎∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，‎ ‎∴a=2，，可得b==1‎ 因此，椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），‎ 由根据中点坐标公式，可得，整理得，‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆上，‎ ‎∴可得，化简整理得，‎ 由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．‎ ‎【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[附加题]（共2小题，每小题4分，满分8分）‎ ‎22．（4分）（2015•邢台模拟）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，所以p：．‎ 由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，‎ 要使p是q的充分不必要条件，则，解得 所以a的取值范围是[0，]，‎ ‎ 故答案为：[0，]．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用分数不等式和一元二次不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（4分）（2016秋•碑林区校级期中）已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（），=0，满足．则椭圆的方程是　+y2=1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用数量积运算性质、点与椭圆的位置关系转化为点的坐标满足椭圆方程即可得出．‎ ‎【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=， =．‎ ‎∵=0，∴﹣c2+=0，‎ ‎∴c2=3．‎ ‎∴a2﹣b2=3，①‎ 又点M在椭圆上，∴ +=1 ②‎ 由①代入②得： +=1，‎ 整理为：a4﹣6a2+8=0，‎ 解得a2=2，或4，‎ ‎∵a2＞3，∴a2=4，b2=1．‎ ‎∴椭圆方程为+y2=1．‎ 故答案为： +y2=1．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[附加题]‎ ‎24．（12分）（2016秋•碑林区校级期中）已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；‎ ‎（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离；空间角．‎ ‎【分析】（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明BD⊥AE．‎ ‎（III）连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O，由，能求出二面角D﹣AE﹣B的大小．‎ ‎【解答】解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，‎ ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，‎ ‎∴．（4分）‎ ‎（II）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．‎ 证明如下：‎ ‎∵PC⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PC⊥BD 而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，‎ 而AE⊂面ACE，‎ ‎∴BD⊥AE．（7分）‎ ‎（III）连接AC，交BD于O．‎ 由对称性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，‎ 设θ为二面角O﹣AE﹣B的平面角．‎ 注意到B在面ACE上的射影为O，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．（12分）‎ ‎【点评】本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用．‎