2014-2018年五年真题分类第四章 三角函数解三角形
专题四 三角函数、解三角形
考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C.1 D.
1.A tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan ，则＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.C [＝＝
＝＝＝＝3.]
3.(2014·大纲全国，3)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
3.C [∵b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a，∴b>a.
又c＝tan 35°＝>sin 35°＝cos 55°＝b，∴c>b.∴c>b>a.故选C.]
4.（2017•北京,12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________．
4.﹣ 方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα= ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
：∵sinα= ，
当α在第二象限时，cosα=﹣ ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，
故答案为：﹣
5.（2017•新课标Ⅱ,14）函数f（x）=sin2x+ cosx﹣ （x∈[0， ]）的最大值是________．
5. 1 f（x）=sin2x+ cosx﹣ =1﹣cos2x+ cosx﹣ ，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣ ）2+1，
当t= 时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1.
考点2 三角函数的图象与性质
1．（2018全国Ⅱ，10）若f(x)=cosx-sinx在[-a, a]是减函数，则a的最大值是( )
A．π4 B．π2 C．3π4 D．π
1.A 因为f(x)=cosx−sinx=2cos(x+π4)，所以由0+2kπ≤x+π4≤π+2kπ,(k∈Z)得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,(k∈Z)，因此[−a,a]⊂[−π4,3π4]∴−a
0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin.
于是f(0)＝A，f(2)＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin，
又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝Asin
＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin
＝Asin＝Asin.
又f(x)在单调递增，∴f(2)0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
22.23 因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，所以f(π4)取最大值，所以π4ω−π6=2kπ(k∈Z)，∴ω=8k+23(k∈Z)，因为ω>0，所以当k=0时，ω取最小值为23.
23.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是 .
23.7 [在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.]
24.(2016·全国Ⅲ，14)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移 个单位长度得到.
24.[y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到.]
25.(2015·浙江，11)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
25.π (k∈Z) [f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，
∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.]
26.(2014·上海，1)函数y＝1－2cos2(2x)的最小正周期是________.
26. [y＝1－2cos2(2x)＝1－2×＝－cos 4x，则最小正周期为.]
27．（2018江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
27.（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．
当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[14，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），
则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1)．
令f'(θ)=0，得θ=π6，
当θ∈（θ0，π6）时，f'(θ)>0，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（π6，π2）时，f'(θ)<0，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
28.(2015·福建，19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α－β)＝－1.
28.解法一 (1)将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sin x.
从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝＝sin(x＋φ)
.
依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).
②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解。
所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；
当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ).
所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2－1＝－1.
法二 (1)解 同法一.
(2)①解 同法一.
②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解，
所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；
当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；
所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ).
于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]
＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)
＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)
＝－＋＝－1.
29.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.
29.(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)＝sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
30.(2015·重庆，18)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性.
30.(1)f(x)＝sinsin x－cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
31.(2015·天津，15)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
31. (1)由已知，有
f(x)＝－＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
f＝－，f＝－,f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
32.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
32.(1)根据表中已知数据，解得A＝5，
ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
33.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
33.(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此12时函数单调增，从而得到函数的减区间为[2kπ-5π3,2kπ-π3](k∈Z)，函数的增区间为[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)，所以当x=2kπ-π3,k∈Z时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2×(-32)-32=-332，故答案是-332.
8.(2018全国Ⅱ，15)已知，，则__________．
8. 因为，，所以，
因此
9.（2017•江苏,5）若tan（α﹣ ）= ．则tanα=________．
9. ∵tan（α﹣ ）= = = ,∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= ，故选．
10.(2016·四川，11)cos2－sin2＝ .
10.[由题可知，cos2－sin2＝cos＝(二倍角公式).]
11.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是 .
11. [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.]
12.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________.
12.3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3.]
13．（2018浙江，18）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-35，-45）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．
13.（Ⅰ）由角α的终边过点P(-35,-45)得sinα=-45，
所以sin(α+π)=-sinα=45.
（Ⅱ）由角α的终边过点P(-35,-45)得cosα=-35，
由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
14．（2018江苏，16）已知α,β为锐角，tanα=43，cos(α+β)=−55．（1）求cos2α的值；（2）求tan(α−β)的值．
14.（1）因为tanα=43，tanα=sinαcosα，所以sinα=43cosα．
因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=925，
因此，cos2α=2cos2α-1=-725．
（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)．
又因为cos(α+β)=-55，所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255，
因此tan(α+β)=-2．
因为tanα=43，所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247，
因此，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211．
15.(2015·山东，16)设f(x)＝sin xcosx－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.
15.解 (1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin 2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z, 可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cosA＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立.因此bcsinA≤.
所以△ABC面积的最大值为.
16.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________.
16.1 [f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.]
17．（2017•新课标Ⅰ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
17.（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC= ；
（2）解：∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC= ，
∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ，
∴cos（B+C）=﹣ ，
∴cosA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
∵ = = =2R= =2 ，
∴sinBsinC= • = = = ，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+ ．
18.（2017•新课标Ⅱ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
18.（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB= ；
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，
∵S△ABC= ac•sinB=2，
∴ac= ，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
19.（2017•新课标Ⅲ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
19.（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ = .
20.（2017•山东,17）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．
20. （Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣ cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=
sin（x﹣ ）的图象；
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象，
∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；
当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
21.（2017·天津,17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
21.（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB= ，可得cosB= ．
由已知及余弦定理，有 =13，
∴b= ．
由正弦定理 ，得sinA= ．
∴b= ，sinA= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ．
故sin（2A+ ）= = ．
22.（2017•浙江,17）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
22. ∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）
（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z．
23.(2014·江西，16)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)若a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值.
23.解 (1)f(x)＝sin＋cos
＝(sin x＋cosx)－sin x
＝cosx－sin x＝sin，
因为x∈[0，π]，从而－x∈，
故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈知cosθ≠0，解得
24.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.
24. (1)f＝Asin＝，∴A·＝，A＝.
(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin＋·sin＝，
∴[(sin θ＋cosθ)＋(－sin θ＋cosθ)]＝，∴cosθ＝，cosθ＝，
又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
25.(2014·江苏，15)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值.
25. (1)因为a∈，sin α＝，所以cosα＝－＝－.
故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcosα＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－.
考点4 解三角形
1．（2018全国Ⅱ，6）在ΔABC中，cosC2=55,BC=1,AC=5，则AB=( )
A．42 B．30 C．29 D．25
1.A 因为cosC=2cos2C2−1=2×(55)2−1=−35,所以c2=a2+b2−2abcosC=1+25−2×1×5×(−35)=32∴c=42，选A.
2．（2018全国Ⅲ，9）△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
2.C 由题可知S△ABC=12absinC=a2+b2-c24,所以a2+b2-c2=2absinC.由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,得sinC=cosC.∵C∈(0,π),∴C=π4.故选C.
3.（2017•山东,9）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A
3. A 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．故选A．
4.(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A.5 B. C.2 D.1
4.B [S△ABC＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC
为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.]
5．（2018浙江，13）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=7，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
5.217 3 由正弦定理得ab=sinAsinB,所以sinB=27×sinπ3=217,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,∴7=4+c2-2c,∴c=3（负值舍去）.
6．（2018江苏，13）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．
6.9 由题意可知，S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac≥5+2ca⋅4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.
7.（2017•浙江,14）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________．
7. ； 如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE= BC=1，AE⊥BC，∴AE= = ，∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ，∵BD=2，
∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC,在Rt△ABE中，∵cos∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ，
故答案为， .
8.(2016·全国Ⅱ，13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
8.[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.]
9.(2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________.
9.7 [S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7.]
10.(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
10.1 [因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.]
11.(2015·北京，12)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
11.1 [由余弦定理：cos A＝＝＝，
∴sin A＝，cos C＝＝＝，
∴sin C＝，∴＝＝1.]
12.(2015·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
12. [由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°,从而∠BAD＝15°＝∠DAC,所以C＝180°-120°-30°＝30°,AC＝2ABcos 30°＝.]
13.(2015·天津，13)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.
13.8 [∵cos A＝－，0＜A＜π，∴sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，
∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝52－2×24×＝64，∴a＝8.]
14.(2014·天津，12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________.
14.－ [由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cos A＝＝－.]
15.(2014·江苏，14)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.
15. [由正弦定理可得a＋b＝2c，又cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cos C的最小值是.]
16.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________.
16. [因为a＝2，所以(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝＝＝，又00)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
25.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
25.(1)证明由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
26.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
26. (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知,absin C＝,又C＝,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.
27.(2015·安徽，16)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.
27.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin B＝＝＝，
由题设知0c.已知B·B＝2，cos B＝，b＝3.
求：(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
33. (1)由·＝2得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
34.(2014·北京，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
34. (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5×＝49.所以AC＝7.
35..(2014·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值.
35.(1)证明 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C).
(2)解 ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立.
∴cos B的最小值为.
36.(2014·安徽，16)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值.
36. (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
由于0
查看更多
