西藏自治区拉萨中学2019届高三第四次月考数学（理）试题

西藏自治区拉萨中学2019届高三第四次月考数学（理）试题

拉萨中学高三年级（2019届）第四次月考理科数学试卷 命题： ‎ ‎（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）‎ ‎1． 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列命题中正确的是（ ）‎ A．若为真命题，则为真命题 B．若，则恒成立 C．命题“，”的否定是“，”‎ D．命题“若，则或”的逆否命题是“若或，‎ 则”‎ ‎4. 已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ）‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6. 在中，，，分别是内角，，的对边，若，，的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为（ ）‎ A．50 B．70 C．90 D．120‎ ‎11. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当 时，，且．则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）‎ ‎13. 已知，，，若与平行，则__________．‎ ‎14. 设，满足约束条件，则的取值范围为__________．‎ ‎15. 一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在处看灯塔在船的北偏东45°方向，1小时30分钟后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东75°方向上，则灯塔与的距离为________km．‎ ‎16．双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左右两支上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是________．‎ 三、解答题 ‎17．（12分）已知等差数列中，，且前10项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18. (12分)某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；‎ ‎（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望．‎ ‎19. (12分)如图，多面体中，是正方形，是梯形，，，平面且，分别为棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20. (12分)已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．‎ ‎（1）求与的标准方程；‎ ‎（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．‎ ‎21. (12分)已知函数．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求实数的值．‎ ‎（2）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．‎ 选考题：请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．‎ ‎22．(10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求出曲线的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎23．(10分)（选修4—5：不等式选讲）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．‎ 答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D B A B D C C D C B C ‎1. 【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，，，，‎ z的共轭复数在复平面内对应点坐标为，‎ z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D．‎ ‎ ‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】，，‎ ‎∴；故选D．‎ ‎ ‎ ‎3. 【答案】B ‎【解析】令，恒成立，‎ 在单调递增，‎ ‎∴，∴，B为真命题或者排除A、C、D．故选B．‎ ‎ ‎ ‎4. 【答案】A ‎【解析】数列的前项和(1)， ‎ 时，(2)，‎ ‎(1)－(2)得:，又，‎ 时，为等比数列；‎ 若为等比数列，则，即“”是“为等比数列”的充要条件，故选A．‎ ‎ ‎ ‎5. 【答案】B ‎【解析】函数经伸长变换得，‎ 再作平移变换得，故选：B．‎ ‎ ‎ ‎6. 【答案】D ‎【解析】由，，的面积为，‎ 得：，‎ 从而有，‎ 由余弦定理得：，‎ 即，故选：D．‎ ‎ ‎ ‎7. 【答案】C ‎【解析】由题意得：‎ ‎ ， ， ，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎ ‎ ‎8. 【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，，，成等差数列，‎ 则即，‎ 解得，，则；故选C．‎ ‎ ‎ ‎9. 【答案】D ‎【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：‎ ‎ ‎ 其中平面，∴，，，‎ ‎∴，，．‎ 该几何体最长棱的棱长为．故选D．‎ ‎ ‎ ‎10. 【答案】C ‎【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为．由题意得，解得．‎ 故二项式为，‎ 其展开式的通项为，．‎ 令得．所以的系数为．选C．‎ ‎ ‎ ‎11. 【答案】B ‎【解析】‎ 是定义在上的偶函数，‎ ‎，即，‎ 则函数的定义域为 函数在上为增函数，‎ ‎ ‎ 故两边同时平方解得，‎ 故选 ‎ ‎ ‎12. 【答案】C ‎【解析】当时，，∴，‎ 令，‎ 则，即当时，单调递增．‎ 又为上的偶函数，‎ ‎∴为上的奇函数且，‎ 则当时，单调递增．‎ 不等式，‎ 当时，，‎ 即，，即，∴；‎ 当时，，，，‎ 即，∴．‎ 综上，不等式的解集为．故选C．‎ ‎ ‎ ‎13. 【答案】-3‎ ‎【解析】已知，，‎ 若与平行则，故答案为：-3．‎ ‎ ‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，‎ 当目标函数过点时，取得最小值，‎ 此时最小值为；‎ 当目标函数过点时，取得最大值，‎ 此时最小值为，所以的取值范围为．‎ ‎ ‎ ‎15. 【答案】72‎ ‎【解析】由题意，中，，，km，，‎ 由正弦定理，可得km．故答案为：72 km．‎ ‎ ‎ ‎16. 【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出图形如图所示．‎ ‎ ‎ 由题意得，∴．由，可设，‎ ‎∵，∴可得点的坐标为．‎ ‎∵点，在双曲线上，∴，消去整理得，∴离心率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为．‎ 由已知得，解得，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（2），‎ 所以．‎ ‎ ‎ ‎18. 【答案】（1），；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由题，解得，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎19. 【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，是正方形，‎ ‎∴，∵分别为棱的中点，∴，‎ ‎∵平面，∴，∵，，‎ ‎∴平面，∴，从而，‎ ‎∵，是中点，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（2）由已知，，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ ‎∴，，设平面的一个法向量为，‎ 由得，令，则，‎ 由（1）可知平面，‎ ‎∴平面的一个法向量为，‎ 设平面和平面所成锐二面角为，则，‎ 所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. 【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，，‎ 解得，，故椭圆的标准方程为．‎ 又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，‎ ‎，‎ 即，‎ 联立，消去整理得，．‎ 依题意，，是方程的两根，，‎ ‎，，‎ 将和代入得，‎ 解得，（不合题意，应舍去）‎ 联立，消去整理得，，‎ 令，解得．‎ 经检验，，符合要求．‎ 此时，，‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎21. 【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由可得：‎ ‎，‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，‎ ‎∴，计算得出．‎ 代入，‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴是的极值点．∴．‎ ‎（2）当时，函数的图象恒不在直线上方，‎ 等价于，恒成立，‎ 即，恒成立，‎ 由（）知，，‎ 令，得， ，‎ ‎①当时，，∴在单调减，‎ ‎，与矛盾，舍去．‎ ‎②当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在或处取到，‎ ‎，，‎ ‎∴只要，‎ 计算得出．‎ ‎③当时，，‎ 在上单调增，，符合题意，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎ ‎ ‎22. 【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；‎ ‎，① ，②‎ ‎①×②消可得：，‎ 因为，所以，所以的普通方程为．‎ ‎（2）直线的直角坐标方程为：．‎ 由（1）知曲线与直线无公共点，‎ 由于的参数方程为（为参数，，），‎ 所以曲线上的点到直线的距离为：‎ ‎，‎ 所以当时，的最小值为．‎ ‎ ‎ ‎23. 【解析】（1）当时，原不等式可化为，‎ ‎①当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式可化为，解得，所以．‎ ‎③当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 综上所述，当时，不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在恒成立，‎ 所以，即，‎ 即，所以，‎ 解得，故所求实数的取值范围是．‎ ‎ ‎