【推荐】专题06 平面向量的模与夹角-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练（浙江版）

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六、平面向量的模与夹角 一、选择题 ‎1．已知单位向量a‎,‎b满足a‎+‎b‎=‎a‎-‎b，则a与b‎-‎a的夹角是( )‎ A. π‎6‎ B. π‎3‎ C. π‎4‎ D. ‎‎3π‎4‎ ‎【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎∵|a+b|=|a-b|‎ ‎∴‎ a‎+‎b‎2‎‎=‎a‎-‎b‎2‎，‎∴‎ a‎⋅b=0‎ 即a‎⊥‎b如图 OA‎ =a‎=‎1,0‎,OB=b=‎0,1‎,OC=b-a=‎‎-1,1‎即是第二象限的角平分线，所以由图可见a 与b‎-‎a 的夹角是‎3π‎4‎，故选D.‎ ‎2．【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．【2018届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ，所以，即，设的夹角为， ，又，所以的夹角为，故选A.‎ ‎4．【2017届云南省红河州高三统一检测】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 当时， ‎ 当 故当时， 取得最小值为，即 当时， ，即 综上所述 故答案选.‎ ‎5．【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a‎=b=c=2‎，且a‎⋅b=0‎，a‎-‎c‎⋅b‎-‎c≤0‎，则a‎+b-‎c的取值范围是（ ）‎ A. ‎0,2‎2‎+2‎ B. ‎‎0,2‎ C. ‎2‎2‎-2,2‎2‎+2‎ D. ‎‎2‎2‎-2,2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示：OA‎=‎a，OB‎=‎b，OC‎=‎c，‎OD‎=a+‎b ‎∵a‎-‎c‎⋅b‎-‎c≤0‎，∴点C在劣弧AB上运动，‎ a‎+b-‎c表示C、D两点间的距离CD。‎ CD的最大值是BD‎＝２‎，CD最小值为OD‎-2=2‎2‎-2‎.‎ 故选：D.‎ ‎7．【2018届河北省武邑中学高三上第二次调研】设为单位向量且相互垂直，若向量满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合可设，‎ ‎8．【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB分别于半径为‎1‎的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2λPA+(1-λ)PB.‎，若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )‎ A. ‎(-1,1)‎ B. ‎(0,‎2‎‎3‎)‎ C. ‎(‎1‎‎3‎,1)‎ D. ‎‎(0,1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为PO=2‎，由切线长定理知PA=PB=‎‎3‎，又 OM‎=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)‎PB‎ ，因此OM‎2‎‎=9λ‎2‎-6λ+1<1‎，解得‎0<λ<‎‎2‎‎3‎．‎ 点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量OM‎=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB=OB+2λPA-λPB，再根据向量的平方运算，求出‎|OM|‎‎2‎‎=9λ‎2‎-6λ+1‎，令其小于半径即可求出．‎ ‎9．【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中， 为边上一点，且，向量与向量共线，若， ， ，则（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B 所以 本题选择B选项.‎ ‎10．【2018届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时， ，应选答案D.‎ ‎11．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足，则最大值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎，则向量的夹角为60°，‎ 设，则，故：‎ ‎，设O到BC的距离为，‎ 则，‎ ‎12．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎，选C.‎ 二、填空题 ‎13．【2018届浙江省温州市高三9月测试一】设向量a，b，且‎|a+b|=2|a-b|‎，‎|a|=3‎，则‎|b|‎的最大值是__________；最小值是__________．‎ ‎【答案】 9 1‎ ‎14．【2017年浙江卷】已知向量a,b满足，则的最小值是___________，最大值是______.‎ ‎【答案】 4 ‎ ‎【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 令，则，‎ 据此可得： ，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎15．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若非零向量满足，且，则向量与的夹角为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎∴cos===，‎ 即.‎ ‎16．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图，在平面斜坐标系xOy中，‎∠xOy=‎‎135‎‎∘‎，斜坐标定义：如果OP‎=xe‎1‎+ye‎2‎（其中e‎1‎，e‎2‎分别是x轴，y轴的单位向量），则x,y叫做P的斜坐标.‎ ‎（1）已知P得斜坐标为‎1,‎‎2‎，则OP‎=‎__________．‎ ‎（2）在此坐标系内，已知A‎0,2‎,B‎2,0‎，动点P满足AP‎=‎BP，则P的轨迹方程是__________．‎ ‎【答案】 1 ‎y=x ‎【解析】（1）∵OP‎=e‎1‎‎+‎‎2‎e‎2‎=e‎1‎‎2‎‎+2e‎1‎∙‎2‎e‎2‎+‎‎2‎e‎2‎‎2‎=1‎，‎ ‎∴OP‎=‎1．‎ ‎（2）设P（x，y），由AP‎=‎BP得|（x，y﹣2）|=|（x﹣2，y）|，∴x‎2‎‎+‎y-2‎‎2‎‎=‎x-2‎‎2‎‎+‎y‎2‎整理得：y=x．‎ 故答案为：1；y=x.‎ 三、解答题 ‎17．【2018届江西省六校高三上第五次联考】已知向量满足， ， 与的夹角为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若向量与垂直，求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ 试题解析：(1)∵向量， 满足||＝ 3,| |＝1， 与的夹角为，‎ ‎∴||＝＝＝‎ ‎(2)∵向量与垂直，∴()·()＝0，∴，∴解得.‎ ‎18．已知a，b是两个单位向量．‎ ‎（Ⅰ）若‎|3a-2b|=3‎，试求‎|3a+b|‎的值；‎ ‎（Ⅱ）若a，b的夹角为‎60‎‎∘‎，试求向量m=2a+b与n=2b-3a的夹角.‎ ‎【答案】（1）‎2‎‎3‎;（2）‎120‎‎∘‎ .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接把‎|3a-2b|=3‎两边平方，求得a⋅b=‎‎1‎‎3‎，从而可求‎|3a+b|‎的值；‎ ‎（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算求得m⋅n，再求出‎|m|‎，‎|n|‎，代入数量积公式求得向量m，n的夹角即可 试题解析：（1）‎∵a，b是两个单位向量，‎∴ |a|=|b|=1‎，又‎|3a-2b|=3‎，‎ ‎∴9|a‎|‎‎2‎-12a⋅b+4|b‎|‎‎2‎=9‎‎，即a⋅b=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎∴ |3a+b|=‎9|a‎|‎‎2‎+6a⋅b+|b‎|‎‎2‎=‎9×1+6×‎1‎‎3‎+1‎=2‎‎3‎ ‎（2）‎|m|=‎(2a+b)‎‎2‎=‎4|a‎|‎‎2‎+4a⋅b+|b‎|‎‎2‎=‎4×1+4×‎1‎‎2‎+1‎=‎‎7‎，‎ ‎|n|=‎(2b-3a)‎‎2‎=‎4|b‎|‎‎2‎-12a⋅b+9|a‎|‎‎2‎=‎4-12×‎1‎‎2‎+9‎=‎‎7‎‎，‎ m⋅n=(2a+b)⋅(2b-3a)=2|b‎|‎‎2‎+a⋅b-6|a‎|‎‎2‎=-‎‎7‎‎2‎‎，‎ cosθ=m⋅n‎|m||n|‎=‎-‎‎7‎‎2‎‎7‎‎⋅‎‎7‎=-‎‎1‎‎2‎‎，‎∵ 0≤θ≤‎‎180‎‎∘‎，‎∴‎夹角θ=‎‎120‎‎∘‎ .‎ ‎19．【2018届广东省兴宁市沐彬中学高三上第二次月考】已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足： ，‎ ‎（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；‎ ‎（2）当k=2，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ 试题解析：（1）设P（x，y），．‎ 当k=1时，由，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，‎ 整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；‎ 当k≠1时，由，得x2+y2﹣1=k（1﹣x）2+ky2，‎ 整理得： ，表示以点为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2=4x﹣3，‎ ‎∵‎ ‎∴，又x2+y2=4x﹣3，‎ ‎∴．问题归结为求6x﹣y的最值，‎ 令t=6x﹣y，‎ ‎∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，‎ ‎∴，解得．∴．‎ ‎20．已知.‎ ‎（1）当为何值时, 最小? 此时与的位置关系如何?‎ ‎（2）当为何值时, 与的夹角最小? 此时与的位置关系如何?‎ ‎【答案】（1） 当时, 最小, ；（2）时, 与的夹角最小, 与 平行.‎ 试题解析：‎ ‎（1）,‎ ‎ ‎ 当时, 最小,此时,, ∴‎ ‎∴当时, 最小,此时.‎ ‎（2）设与的夹角为,则,‎ 要与的夹角最小,则最大, ∵,故的最大值为,此时,‎ ‎,解之得,.‎ ‎∴时, 与的夹角最小, 此时与平行.‎ ‎21．【2018届河北省衡水市馆陶县第一中学高三上第一次月考】已知向量,且 ,（为常数）‎ ‎(Ⅰ)求及;‎ ‎(Ⅱ)若的最小值是,求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量的模长；（2）转化成二次函数求最值问题，‎ ‎(1)得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当时， 取得最小值 ,‎ 由已知得: 解得 ；‎ 当 时当且仅当时，‎ ‎ 取得最小值 ，已知得；‎ ‎ 解得 ，这与相矛盾，‎ 综上所述， 为所求. ‎ ‎22．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆关于直线对称的圆为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与圆交于两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在直线和 试题解析：（1）圆化为标准为，‎ 设圆的圆心关于直线的对称点为，则，‎ 且的中点在直线上，‎ 所以有，‎ 解得： ，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（2）由，所以四边形为矩形，所以.‎ 要使，必须使，即： .‎ ‎①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆 交于两点， .‎ 因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 要使，必须使，即，‎ 也就是： ‎ 整理得： ‎ 解得： ，所以直线的方程为 存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.‎