THUSSAT11月诊断性测试文科数学试卷

THUSSAT11月诊断性测试文科数学试卷

中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试 文科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U = R ，集合 1{ | 0 } xAxx −=， { | l g ( 3 1 ) }B x y x= = − ，则 ()UAB= A． (0,1] B． 1(0 , ]3 C． 1( ,1]3 D． 1( , ] 3− 2．已知 a  R ，复数 2i 3i az −= + （i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则 a = A． 2 3 B． 2 3− C． 6 D． 6− 3．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取 25 名职工进行 问卷调查，若采用分层抽样方法，则 40 ～ 50 岁年龄段应抽取的人数是 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 4．下列函数中，在区间 (0,)+ 上单调递增的是 A． 3 xy −= B． 0.5l o gyx= C． 2 1y x= D． 1 2 xy x += + 5．已知抛物线 2 4yx= 的焦点为 F ，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A 、 B 两点，若| | 3| |AF BF= ，则 ||AB = A． 4 B． 9 2 C． 13 2 D． 16 3 6．已知 π 1tan( )43 − = − ，则 πsin(2 ) 2sin(π )cos(π )2  + − − + = A． 7 5 B． 1 5 C． 1 5− D． 31 25 7．设变量 x 、 y 满足约束条件 20 2 4 0 2 4 0 xy xy xy + −   − +   − −  ，且 z kx y=+的最大值为12 ，则实数 k 的值为 A． 2− B． 3− C． 2 D．3 8．在△ ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，若 1a = ， 23c = ， πsin sin ( ) 3b A a B =−，则 sin C = A． 3 7 B． 21 7 C． 21 12 D． 57 19 9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1 ，则该三棱锥外 接球的表面积为 A． 27 π B． 28 π C． 29 π D． 30 π 10．函数 ||13c os e 6 xyx=−的大致图象是 11.已知双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a bab− =   的右焦点为 F ，直线 :3l y x = 与 C 交于 A , B 两点， AF , BF 的中点分别为 M , N ，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为 A． 33− B． 2 3 1 − C． 32+ D． 31+ 12.在△ ABC 中， 8AB = , 6AC = , 60A =  , M 为△ ABC 的外心，若 AM AB AC=+ , , R ， 则 43+= A． 3 4 B． 5 3 C． 7 3 D． 8 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 {}na 为等比数列，若 3 3a = , 5 12a = ，则 7a = ． 14．若函数 ( ) 2cos( 2 ) cos2 (0 )2f x x x= + +   的图象过点 (0,1)M ，则 ()fx的值域为 ． 15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着 广泛的应用，其定义为： 1 , ( , , ) () 0, 0,1 [0,1] qqx p qp p pRx x  ==   = 当 都是正整数 是既约真分数 当 或 上的无理数 ，若函数 ()fx是定义 在 R 上的奇函数，且对 任 意 x 都有 (2 ) ( ) 0f x f x− + = ，当 [0,1]x 时， ( ) ( )f x R x= ，则 18( ) ( l g30 )5ff+= ． 16．如图，正方体 1111A B C D A B C D− 的棱长为 a ，E 、F 、G 分别是 1DD 、AB 、 BC 的中点，过点 E 、 F 、 G 的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几 何体的体积为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）某学校为了解学生假期参与志愿服务活动 的情况，随机调查了 30 名男生，30 名女生，得到他 们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单 位：人）： （1）能否有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过 1 小时与性别有关？ （2）以这 60 名学生参与志愿服务活动时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校 学生中随机抽查 10 名学生，试估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人 数． 附： 2()P K k 0.050 0.010 0.001 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + k 3.841 6.635 10.828 超过 1 小时 不超过 1 小时 男 22 8 女 14 16 18．（12 分）已知数列 {}na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ，且 3 5a = ， 4237Sa−=；数列 {}nb 为等 比数列，且 12ba= ， 49bS= ． （1）求数列 {}na 和 {}nb 的通项公式； （2）若 n n n ac b= ，设数列{}nc 的前n项和为 nT ，求证： 1 13 nT． 19．（12 分）如图，已知四边形 ABCD 为梯形， //AB CD ， 90CB A =  ， 四边形 ACFE 为矩形， 且 平 面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ，又 AB BC CF a= = = ， 2CD a= ． （1）求证： D E B F⊥ ； （2）求点 E 到平面 B D F 的距离． 20．（12 分）已知点 5(2 , )3M 在椭圆 22 22: 1( 0)xyE a bab+ =   上， 1A , 2A 分别为 E 的左、右顶点，直 线 1AM 与 2AM的斜率之积为 5 9− , F 为椭圆的右焦点，直线 9: 2lx= ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B , C 两点，直线 2BA 、 2CA 分别与直线 l 交于 P , Q 两点．试 问：以 PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 ( ) ln ( 1) 1f x x x ax x= − − − ， a  R ． （1）当 1a =− 时，求曲线 ()y f x= 在点 (1, (1))Mf 处的切线方程； （2）当 1a  时，求证：函数 ( ) ( ) 1g x f x=+恰有两个零点． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22． [选修 4—4：坐标系与参数方程选讲]（10 分） 以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 是 6sin 4cos  =+ ，直线 l 的参数方程是 4 cos 3 sin xt yt   =+  =+ ，（ t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于 M 、 N 两点，且| | 4 3MN = ，求直线l 的倾斜角  ． 23． [选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 3 1| | 3 2 |f x x x= + − + 的最大值为 m , ,,abc均为正实数，且 a b c m++= ． （1）求证： 1 1 1 9abc+ +  ； （2）求证： 3abc+ +  ．