数学（文）卷·2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试（2017

数学（文）卷·2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末考试（2017

怀仁一中2016-2017学年度第一学期高三毕业班期终考试 ‎（文科） 数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知集合，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.“”是“函数为奇函数的”（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知圆的半径为，是其圆周上的两个三等分点，则的值等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：‎ 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 ‎40‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎20‎ 现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）‎ A．7 B．6 C.5 D．4‎ ‎6.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．17 B． C. D．‎ ‎8.下图中的格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）‎ A．4 B．8 C.16 D．20‎ ‎9.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（ ）‎ A．或 B．或2 C.或2 D．或 ‎10.在中，分别是的对边，若，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C.等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎11.等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是，则首项（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎12.已知，函数的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.等差数列的前项和为，若，，则 ．‎ ‎14.下图是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．‎ ‎15.如图，定义某种运算，运算原理如下图所示，则式子的值为 ．‎ ‎16.已知，则等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期以及单调增区间；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：‎ 组别 候车时间 人数 一 ‎2‎ 二 ‎6‎ 三 ‎4‎ 四 ‎2‎ 五 ‎1‎ ‎（1）求这15名乘客的平均候车时间；‎ ‎（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（3）若从上表第三、四组的6人中选2人 作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.‎ ‎（1）求证直线的斜率为定值；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的极值点；‎ ‎（2）对任意的，记在上的最小值为，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；‎ ‎（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）当且时，解关于的不等式.‎ 怀仁一中2016-2017学年度第一学期期终考试 高三数学（文科）考试题答案 一、选择题 ‎1-5:CCADB 6-10:BBCDD 11、12：CA 二、填空题 ‎13.6 14. 15.13 16.1‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），‎ ‎∴的最小正周期为.‎ 由，得，.‎ 的单调增区间为：‎ ‎.‎ ‎（2），∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）.‎ ‎（2）候车时间少于10分钟的概率为.‎ 所以候车时间少于10分钟的人数为人.‎ ‎（3）将第三组乘客编号为，第四组的乘客编号为，从6人中任选两人有包含以下基本事件：，，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为.‎ ‎19.解：（1）证明：∵四边形为矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）证明：在中，，，‎ 满足，所以,即.‎ 又因为四边形为矩形，所以，‎ 又，所以面，‎ 又因为面，所以，‎ 又因为四边形为菱形，所以，‎ 又，所以面.‎ ‎（3）解：过作于，‎ 由第（1）问已证面，‎ ‎∴面，‎ ‎∴，‎ ‎∴面，‎ 由题设知，‎ ‎∴.‎ ‎∴三棱锥的体积是.‎ ‎20.解：（1）∵斜率存在，不妨设，求出，‎ 直线方程为，‎ 分别与椭圆方程联立，可解出，‎ 同理得，直线方程为，，‎ ‎∴，为定值.‎ ‎（2）设直线方程为，与联立，消去得 ‎，‎ 由得，且，‎ 点到的距离为.‎ ‎，‎ 设的面积为，∴，‎ 当时，得.‎ ‎21.解：（1），‎ 由解得：，.‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 所以，有两个极值点：‎ 是极大值点，；‎ 是极小值点，.‎ ‎（2）过点做直线，与的图象的另一个交点为，则，‎ 即，‎ 已知有解，则，‎ 解得，‎ 当时，；；‎ 当时，，，‎ 其中当时，；‎ 当时，，，‎ 所以，对任意的，的最小值为（其中当时，）.‎ ‎22.解：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则.‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ 代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，，‎ ‎∴.‎ ‎23.解：（1）由得，‎ 所以，解得为所求.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，‎ 当时，不等式①恒成立，即；‎ 当时，不等式或或 解得或或，即；‎ 综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.‎