2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数，则复数的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由复数代数形式的乘除运算化简复数，再求出共轭复数，最后得到在复平面对应的点的坐标，即可得到答案.‎ 详解：由于,‎ ‎ ，在复平面内对应的点的坐标为：，位于第三象限.‎ ‎ 故答案选C.‎ 点睛：本题主要考查复数的代数表示方法及其几何意义，意在考查学生的运算求解能力，难度较小.‎ ‎2．集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出答案.‎ 详解：若时，,，满足题意；‎ ‎ 若时，集合，满足题意；‎ ‎ 若时，集合，若，则，则,‎ ‎ 综上，.‎ ‎ 故答案选B.‎ 点睛：本题主要考查集合的包含关系，在于考查学生的运算求解能力，分类讨论能力，难度一般.易错点在于“是任何集合的子集”.‎ ‎3．已知命题，则是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：命题是一个全称命题，把条件中的全称量词改成存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项.‎ 详解：命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，‎ 故.‎ ‎ 故答案选C.‎ 点睛：本题主要考查命题的否定，意在考查学生对于概念的理解，难度较小.‎ ‎4．我校高二年级半期考试的数学考试成绩X, 则成绩X位于区间 的概率约为（ ）（参考数据：，，）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据考试的成绩X,得到曲线关于对称，根据原则得出结果.‎ 详解：由于考试的成绩X，则曲线关于对称，‎ ‎ 根据原则知.‎ ‎ 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查正态分布曲线分布的特点以及各数据所表示的意义，意在考查学生的图像识别能力，计算求解能力.‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由程序框图知：算法的功能是求的值，确定跳出循环的值，从而得到判断框应填的条件.‎ 详解：由题意：算法的功能是求的值，‎ ‎ 由于输出的结果是0.99，即，得跳出循环的，‎ ‎ 因此判断框应填或.‎ ‎ 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查程序框图，数列的求和.意在考查学生的逻辑思维能力，运算求解能力，难度中等.‎ ‎6．设x、y满足约束条件，则的最小值是( )‎ A. -10 B. - 4 C. 6 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：画出约束条件下的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可.‎ 详解：作出不等式组表示的可行域，如图：‎ 结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值 最小值为.‎ ‎ 故答案选A.‎ 点睛：本题主要考查线性规划的基础知识，意在考查学生的简单作图能力，逻辑分析能力，难度较小.‎ ‎7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知，‎ 解得d=．‎ 故选：D．‎ ‎8．在平行四边形中，点分别在边上，且满足， ，若 ，，则( )‎ A. B. 0 C. D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意画出图形，把向量，转化成向量，求解即可.‎ 详解：‎ 如图：‎ ‎，，且 ，，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故答案选B.‎ 点睛：本题主要考查向量的几何运算，熟练掌握向量的“三角形运算法则”及“平行四边形运算法则”是解题的关键.意在考查学生的作图能力，运算求解能力，难度一般.‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. 8 B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选A．‎ ‎10．如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】中，由正方体的性质得，所以平面，故正确；‎ 中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影，由三垂线定理知，，故正确 中由正方体的性质得，由知，，，同理可证 ‎，故平面内的两条相交直线，所以平面，故正确；‎ 中异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，在等腰直角中，，故直线与所成的角为45°，故正确；‎ 故答案选 ‎11．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出F，Q的坐标，过点P作PM垂直于准线，则PM=PF.记，‎ 则,当最小时，有最小值，设P的坐标，然后求解a,c，即可求解椭圆的离心率.‎ 详解：由已知，,,过点P作PM垂直于准线，PM=PF.记，‎ 则，当最小时，有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于 ‎ 点P，设,可得，所以，=2，则,则，,.‎ 点睛：本题是一道抛物线与椭圆的综合题目，关键是根据题意求出a,c的值；难度较大，意在考查学生的运算求解能力，划归能力.‎ ‎12．已知函数的两个极值点分别为，且 ‎，动点的可行域为平面区域，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出函数的导数，利用函数的极值以及函数的零点列出约束条件，利用线性规划通过目标函数的最优解，求解的取值范围.‎ 详解：，故的两根分别为，‎ ‎ 由二次方程根的分布得，即，‎ 画出该不等式组所表示的平面区域，当函数经过点（1,1）时，,‎ 因此当的函数图像经过区域，‎ 故选C.‎ 点睛：本题是一道函数与极值的综合应用题，解题的关键是掌握导数与极值之间的联系；意在考查学生的作图能力，转化能力.‎ 二、填空题 ‎13．在的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】分析：根据的展开式的通项公式，计算在的展开式中含的项是什么，从而求出的系数.‎ 详解：的展开式的通项是,‎ ‎ 所以在的展开式中，含的项为 ‎ .‎ ‎ 故答案为120.‎ 点睛：本题主要考查二项式系数的性质，要熟练掌握二项式展开式的通项.意在考查学生的运算求解能力，难度较小.‎ ‎14．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________（用数字作答）‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】试题分析：分两步完成:第一步将名调研员按分成三组,其分发有种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有种,所以不同的分配方案种数种,故填.‎ ‎【考点】分组分配问题.‎ ‎15．设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，曲线与直线所围成封闭图形的面积为，所以， ==，解得， 。‎ ‎【考点】定积分计算，定积分的几何意义。‎ 点评：简单题，利用定积分的几何意义，将面积计算问题，转化成定积分计算。‎ ‎16．已知平面外一点P与平面内不共线的三点A、B、C所确定的平面PAB、平面PAC、平面PBC两两垂直，若PA=1，PB+PC=2，则由P、A、B、C四点所确定的三棱锥P-ABC的外接球的表面积的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 分析：由于平面PAB、平面PAC、平面PBC两两垂直可得直线PA，PB, PC两两垂直，则外接球半径，再由基本不等式即可得出答案.‎ 详解：根据题意，由于平面PAB、平面PAC、平面PBC两两垂直可得直线PA，PB, PC两两垂直，则外接球半径，当且仅当时，半径取最小值，即，则表面积，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球与基本不等式，常用的方法是将其放在长方体中进行相关计算，较基础.意在考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，‎ ‎，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先由得到等式关系，然后把既有角又有边的等式利用正弦定理转化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果.‎ ‎ （2）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值.‎ 详解：（1）由得，，‎ 由正弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，又，‎ ‎.‎ ‎（2）的面积.‎ 由已知及余弦定理，得.‎ 又，‎ 故，当且仅当时，等号成立.‎ 因此面积的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，综合性强，灵活运用相关性质是解题的关键.意在考查学生的转化能力，运算求解能力.‎ ‎18．已知数列的前项和，，且的最大值为8.‎ ‎（1）确定的值；并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和．证明:‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由二次函数的最值求法，可得k的值，再由数列的递推式：‎ ‎ , 当时，,即可得到所求通项；‎ ‎ （2）数列，即为，由数列的求和：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到多求和，最后证明得出不等式.‎ 详解：（1）∵，又，，所以当时，，由题设，，故； ‎ 可得；当时，； ‎ 当时，‎ 因为，所以也满足，‎ 即 ‎（2）证明∵，∴故 ‎ …………①‎ ‎ …………②‎ 由①-②得：，‎ 故，则 点睛：本题主要考查二次函数的性质，数列的通项，数列的求和.对于数列的求和：“差比数列”常用的方法是“错位相减法”.意在考查学生的划归能力，运算求解能力，逻辑推理能力，综合性强.‎ ‎19．某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎5‎ ‎0.05‎ 第二组 ‎35‎ ‎0.35‎ 第三组 ‎30‎ ‎0.30‎ 第四组 ‎20‎ ‎0.20‎ 第五组 ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）试估计该校高三学生本次月考数学成绩的平均分和中位数；‎ ‎（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在中的学生数为，‎ 求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率；‎ ‎② 的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）‎ ‎【答案】（1）114.5，；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）计算本次月考数学学科的平均分即可;中位数是落在频率为0.5的值.‎ ‎ （2）由表知成绩落在的概率，‎ ‎①利用相互独立事件的概率计算“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中”的概率值;‎ ‎②由题意的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，写出 的分布列和数学期望.‎ 详解：(1)本次月考数学学科成绩的平均分为 ‎；‎ 设本次月考数学学科成绩的中位数为x,则 ‎0.05+0.35+0.03（110-x）=0.03(120-x)+0.2+0.1‎ 即x=‎ ‎(2)由表，知成绩落在中的概率为，‎ ‎①设表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在 中”．‎ 则，‎ 所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率为；‎ ‎②的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎,‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，或，则．‎ 点睛：本题主要考查等可能事件的概率，众数，中位数，平均数，离散随机变量的期望和方差，超几何分布.在频率分布直方图中，中位数左右两边的直方图面积相等.意在考查学生的数据处理能力，逻辑推理能力，划归能力，运算求解能力.‎ ‎20．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．‎ ‎(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥ PC，AC⊥ BC；‎ ‎ （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P－AC－E的余弦值为，可求出相关量，再求出，即可求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值.‎ 详解：(1)∵ PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ AC⊥PC.∵ AB＝2，AD＝CD＝1，∴ AC ＝BC＝.‎ ‎∴ AC2＋BC2＝AB2.∴ AC⊥ BC.‎ 又BC∩PC＝C，∴ AC⊥平面PBC.‎ ‎∵ AC⊂平面EAC，‎ ‎∴平面EAC⊥平面PBC.‎ ‎(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(agt;0)，‎ 则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 点睛：本题主要考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法；两平面垂直的判定定理的特征：线线垂直线面垂直面面垂直；意在考查学生的空间想象能力，数据处理能力，逻辑推理能力，运算求解能力.掌握好运用空间向量求平面间的夹角是解决此类问题的关键.‎ ‎21．过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限内交于点，过作直线的垂线，垂足为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，设分别交圆于点，证明：为圆的直径．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意，即可求出和的值，求得椭圆方程.‎ ‎ （2）设过点P的切线方程为，代入椭圆方程，由判别式为0，求得，再由韦达定理知：，即；再讨论斜率不存在的情况即可.‎ 详解：（1）由题知，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为； ‎ ‎（2）设，当切线的斜率均存在时，分别设为，‎ 设过点的切线方程为，‎ 与的方程联立得，‎ 则，‎ 即，整理得，‎ ‎∴，即，‎ 当或的斜率不存在时，必是或，又，∴，此时一条切线与轴垂直，一条切线与轴平行，仍有即，‎ 综上，对任意点为圆的直径．‎ 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，是高考的热点和难点，解决此类问题的关键是熟悉椭圆的基础概念，建立一元二次方程得到韦达定理是关键，能将问题部分转化成韦达定理基本就能完成，综合性较强.意在考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，划归能力，进一步对高等数学的深造潜力进行判断.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当且时，证明.‎ ‎（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先将所证不等式转化成，再令 ‎，求出导数，然后求出的极小值，若极小值大于或等于0即证.‎ ‎ （2）求得的导数，令，求出单调区间和最值，讨论 ‎ ①当当即时，‎ ‎ ②当即时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到的取值范围.‎ 详解：‎ ‎（1）等价于，‎ 即．‎ ‎∵，∴等价于．‎ 令，‎ 则．‎ ‎∵，∴．‎ 当时，，单减；‎ 当时，，单增．‎ ‎∴在处有极小值，即最小值，‎ ‎∴，‎ ‎∴且时，不等式成立．‎ ‎（2）∵，∴．‎ 令，∴，‎ 当时，，∴在上单增，‎ ‎∴．‎ 当即时，恒成立，即，∴在 上单增，‎ ‎∴，所以．‎ 当即时，∵在上单增，‎ 且，‎ 当时，，‎ ‎∴，使，即．‎ 当时，，即单减；‎ 当时，，即单增．‎ ‎∴，‎ ‎∴，由，∴，‎ 记，∴，∴在上单调 递增，∴，∴，综上，．‎ 点睛：利用导数研究函数的单调性是高考常考题型，能清晰的进行“分类讨论”是解决问题的关键，解决此类问题时，讨论一定要做到不遗不漏，保证书写的工整性和思维的缜密.综合性强，意在考查学生的逻辑推理能力，分类讨论能力，为高校选拔数学潜力人才做出判断进而筛选.‎