高考数学考点34 直线与方程

高考数学考点34 直线与方程

1 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. （3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方 向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 它的倾斜角为 ． （2）范围：直线 l 倾斜角的范围是 ． 2．斜率公式 （1）若直线 l 的倾斜角 90°，则斜率 ． （2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则直线 l 的斜率 k＝ ． 二、直线的方程 1．直线方程的五种形式 方程 适用范围 ①点斜式： 不包含直线 ②斜截式： 不包含垂直于 x 轴的直线 ③两点式： 不包含直线 和直 线 ④截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的 直线 ⑤一般式： 不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 2．必记结论 常见的直线系方程 （1）过定点 P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为 y－y0＝k(x－ 0 [0 ,180 )    tank  2 1 2 1 y y x x   1 1( )y y k x x   1x x y kx b  1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x    1 1 2( )x x x x  1 1 2( )y y y y  1x y a b  0( ,Ax By C A B   0) 2 x0)，斜率不存在时可设为 x＝x0. （2）平行于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． （3）垂直于直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. （4）过两条已知直线 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)． 考向一 直线的倾斜角与斜率 1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数 y＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限 制. 2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角 变到钝角时，需依据正切函数 y＝tan x 的单调性求 k 的范围． 典例 1 若两直线 的倾斜角和斜率分别为 和 ，则下列四个命题中正确的是 A．若 ，则两直线的斜率： B．若 ，则两直线的斜率： C．若两直线的斜率： ，则 D．若两直线的斜率： ，则 【答案】D 【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 典例 2 直线 经过点 ， 两点（ ），那么 l 的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 1 2,l l 1 2,  1 2,k k 1 2  1 2k k 1 2  1 2k k 1 2k k 1 2  1 2k k 1 2  l )12( ，A )1( 2mB ， mR [0, ) [0, ] ( , )4 2    [0, ]4  [ , ) ( , )4 2 2     3 【答案】B 【解析】由直线 经过点 ， 两点，则可利用斜率公式得 .来 源:Zxxk.Com] 由 ，则倾斜角取值范围是 .故选 B. 1．已知 ， ，直线 过点 且与线段 相交，那么直线 的斜率 的取值范围是 A． B． C． D． 考向二 直线的方程 求直线方程的常用方法有 1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．[来源:ZXXK] 2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后 代入求出直线方程． 3.直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为 0， 而不是距离． 学# 4. 求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式 Ax+By+C=0，且 A≥0. 典例 3 已知 ，则过点 和线段 的中点的直线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 典例 4 △ABC 的三个顶点分别为 A(－3,0)，B(2,1)，C(－2, 3)，求： l )12( ，A )1( 2mB ， 2 21 1 12 1 mk m    tan 1k   [0, ] ( , )4 2     1,2M  4,3N l  2, 1P  MN l k   , 3 2,   1 1,3 2      3, 2  1 1, ,3 2            7(3, ), (1,2), (3,1)2M A B M AB 4 2 5x y  4 2 5x y  2 5x y  2 5x y  4 （1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线 AD 所在直线的方程； （3）BC 边的垂直平分线 DE 的方程． 【思路分析】 2．已知直线 过点 ，且在两坐标轴上的截距之和为 12，则直线 的方程为________________． 考向三 共线问题 已知三点 若直线 的斜率相同，则 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等 问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数. 学# 典例 4 若三点 共线，则实数 m=_____________. 【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程 . 【解析】由题意得 . ∵ 三点共线，∴ ， , ,A B C， ,AB AC , ,A B C     12,3 3,2 ( , )2A B C m， ， AB ACk k 2 3 31, 13 2 22 AB AC mk k      , ,A B C AB ACk k 5 ∴ ， 解得 ． 3．若三点 共线，则 . 1．已知 M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线 MN 的倾斜角是 A．不存在 B．45° C．135° D．90° 2．如果直线 l 过点(1，2)，且不通过第四象限，那么 l 的斜率的取值范围是 A．[0,1] B．[0,2] C． D．(0,3] 3．已知直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线 的方程为 A． B． C． D． 4．若过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 5．若直线 l1:y=k(x−4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 过定点 A．(0,4) B．(0,2) C．(−2,4) D．(4,−2) 6．若过不重合的 两点的直线 倾斜角为 45°，则 的取值为 A． B． C． D． 7．如图，已知直线 l1：y=－2x+4 与直线 l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点 M．若直线 l2 与 x 轴的交点 为 A（－2，0），则 k 的取值范围是 3 11 22 m     9 2m       2,2 ,, , 0 )0 , 0(A B a C b ab  1 1 a b  1[0, ]2    2 2 22, 3 , 3 ,2A m m B m m m    l m 1m   2m   1 2m   或 1 2m  或 6 A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2 8．直线 过点 ，且与以 ， 为端点的线段总有公共点，则直线 斜率的取值范围是 A． B． C． D． 9．设直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率 的取值范围是__________． 10．已知直线 l 的斜率是直线 2x－3y＋12＝0 的斜率的 ，l 在 y 轴上的截距是直线 2x－3y＋12＝0 在 y 轴 上的截距的 2 倍，则直线 l 的方程为__________． 11．在平面直角坐标系 中,经过点 的直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 .若 ,则 直线 的方程是_________. 12．一张坐标纸对折一次后，点 与点 重叠，若点 与点 重叠，则 __________． 13．已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. （1）求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； （2）为使直线 l 经过第一、三、四象限，求 a 的取值范围． 14．求满足下列条件的直线的方程： （1）直线 经过点 ，并且它的倾斜角等于直线 的倾斜角的 2 倍，求直线 的方程； l  1,0P  2,1A  0, 3B l 3,1   ( , 3] [1, )    , 3    1, l  5 4 6   l k 1 2 xOy  1,1P l x A y B 2PA PB   l  0,4A  8,0B  6,8C  ,D m n m n  l  2, 3A  1 3y x l 7 （2）直线 过点 ，并且在 轴上的截距是 轴上截距的 ，求直线 的方程. 15．已知 的三个顶点分别为是 ， ， . （1）求 边上的高 所在的直线方程； （2）求过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 16．已知直线 l 经过点 P（2，2）且分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于 A、B 两点，O 为坐标原点. （1）求 面积的最小值及此时直线 l 的方程； （2）求 的最小值及此时直线 l 的方程. l  2,4P x y 1 2 l ABC△  4,0A  0, 2B   2,1C  AB CD C AOB△ PA PB 8 1．【答案】A 【解析】如图所示： ∴直线 的方程为 或 ，即 或 ． 3．【答案】 【解析】易知直线 BC 的方程为 ，由点 A 在直线 BC 上，得 ，故 . 19 3 x y  14 16 x y  1 2 1x y a b  2 2 1a b  1 1 1 2a b  9 故选 A.学# 5．【答案】B 【解析】因为直线 l1:y=k(x−4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线 l2 过定点 (x,y),则 ,解得 x=0,y=2.故直线 l2 过定点(0,2). 6．【答案】B 【解析】过 两点的直线 的斜率 ， ∵直线 的倾斜角为 ，解得 或 ，当 时， 重合，舍去，∴ ．故选 B． 7．【答案】D 【 解 析 】 因 为 直 线 l2 与 x 轴 的 交 点 为 A（ －2，0），所 以 ， 即 ， 将 其 与 42 2 01 2 x y        2 2 22 3 3 2A m m B m m m   ， ， ， l 2 2 2 3 2 2 3 m mk m m m       l 2 2 2 3 245 12 3 m mk m m m         ， 1m   2m   1m   A B， 2m   2b k  2 : 2l y k x  10 联立可得 ，由题设 ，解得 ，故选 D. 【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助 点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解. 8．【答案】B 【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图 形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要 的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数 的图象，求出线段端点与点 连线的斜率，从而求出斜率的范围即可. 9．【答案】 【解析】∵直线 的倾斜角为 ，且 ，∴直线 的斜率 的取值范围是 或 ，∴ 或 ，∴直线 的斜率 的取值范围是 ． 10．【答案】 1 : 2 4l y x   4 2 8,2 2 k kx yk k    4 2 02 8 02 k k k k       0 2k   1,0P 3( , ] [1, )3   l  5 4 6   l k tan 4 k  5tan 6k  1k  3 3k   l k 3( , ] [1, )3   3 24 0x y   11 【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式， 求截距就令 或 ，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下 的限制条件. 11．【答案】 学@ 【解析】设 ，由 ，可得 ， 则 ，由截距式可得直线方程为 ，即 ，故答案为 . 【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意 讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求 直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 12．【答案】 【解析】（1）设线段 的中点为 ，则点 ，则对折后,对折直线 l 的方程为 ;设 直线 的方程为 ，∵点 在直线 上，∴ ，则直线 的方程为 ; 设 直 线 与 直 线 的 交 点 为 则 解 方 程 组 得 . 即 ，则 ，∴ . 13．【答案】（1）见解析；（2）a>3. 0x  0y  2 3 0x y      ,0 , 0,A a B b 2PA PB      1 2 0 1 ,0 1 2 1a b        33, 2a b  : 133 2 x yl   2 3 0x y   2 3 0x y   74 5 AB N  4 2N ， 2 6 0x y   CD 2 ' 0x y C    6 8C ， CD ' 22C   CD 2 22 0x y   CD l M， 2 6 0 2 22 0 x y x y        34 5 38 5 x y     34 38( , )5 5M 38 5 36 5 m n     74 5m n  12 【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的 项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线 l 经过第一、三、四象限，只需斜率为正， 截距为负，列出不等式组解出 a 的范围. 14．【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】（1）设直线 的倾斜角为 ，则 ， ∴ ， ∴直线 的斜率为 ， 又∵直线 经过点 ， ∴直线 的方程为： ，即 . （2）若直线 在两坐标轴上的截距均不为 0，设直线 在 轴上的截距为 （ ），则直线 在 轴 上的截距为 ，可设 ： （ ），将点 代入，得 ， ∴直线 ： ，即 ， 若直线 在两坐标轴上的截距均为 0，由直线 过点 ，可得直线方程为 . ∴直线 的方程是: 或 . 3 4 18 0x y   2 8 0x y   2y x 1 3y x  1tan 3  22 122tan 33tan2 1 tan 411 3           l 3 4 l  2, 3A  l  33 24y x   3 4 18 0x y   l l x a 0a  l y 2a l 12 x y a a  0a   2,4P 4a  l 14 8 x y  2 8 0x y   l l  2,4P 2y x l 2 8 0x y   2y x 13 【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限 性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截 距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往 往需要化为一般式. &网 15．【答案】（1）直线 的方程为 ；（2） 或 . 16．【答案】（1）8， ；（2）8； . CD 2 3 0x y   2 0x y  1 0x y   4 0x y   4 0x y  